第一章 1 5定积分的概念 1 5 3定积分的概念 学习目标 1 了解定积分的概念 会用定义求定积分 2 理解定积分的几何意义 3 掌握定积分的基本性质 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程 找一下它们的共同点 答案两个问题均可以通过 分割 近似代替 求和 取极限 解决 都可以归结为一个特定形式和的极限 知识点一定积分的概念 梳理一般地 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式 i x 当n 时 上述和式无限接近某个 这个叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 这里 a与b分别叫做与 区间 a b 叫做 函数f x 叫做 x叫做 f x dx叫做 常数 常数 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 思考1根据定积分的定义求得 x 1 dx的值是多少 知识点二定积分的几何意义 答案相等 梳理从几何上看 如果在区间 a b 上函数f x 连续且恒有 那么定积分f x dx表示由所围成的曲边梯形的面积 这就是定积分f x dx的几何意义 注意 f x 0 图象在x轴的下方 时 f x dx 0 f x dx等于曲边梯形的面积 f x 0 直线x a x b y 0和曲线y f x 知识点三定积分的性质 答案直线x c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形 因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1 S2之和 即S S1 S2 思考辨析判断正误 题型探究 类型一利用定积分的定义求定积分 解答 解令f x 3x 2 1 分割 2 近似代替 求和 3 取极限 反思与感悟利用定义求定积分的步骤 解答 解令f x x 2 类型二利用定积分的性质求定积分 解答 解答 解答 反思与感悟若函数f x 的奇偶性已经明确 且f x 在 a a 上连续 则 解答 2 1 e 1 e 1 1 例3用定积分的几何意义求下列各式的值 类型三利用定积分的几何意义求定积分 解答 解答 2 0 解答 达标检测 1 2 3 4 5 解析 答案 解析 成立 A 0B 1C 2D 3 1 下列结论中成立的个数是 1 2 3 4 5 解析 答案 2 关于定积分a 2 dx的叙述正确的是A 被积函数为y 2 a 6B 被积函数为y 2 a 6C 被积函数为y 2 a 6D 被积函数为y 2 a 6 1 2 3 4 5 解析由定积分的概念可知 A 0B 16C 12D 8 1 2 3 4 5 答案 解析 4 由函数y x的图象 直线x 1 x 0 y 0所围成的图形的面积可表示为 解析 1 2 3 4 5 答案 解答 1 2 3 4 5 解如图所示 1 2 3 4 5 2 可以利用 分割 近似代替 求和 取极限 求定积分 对于一些特殊函数 也可以利用几何意义求定积分 3 定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算 规律与方法