1 3三角函数的图象与性质 1 3 1正弦函数的图象与性质 第1课时正弦函数的图象与性质 1 能正确使用 五点法 几何法 作出正弦函数的图象 2 理解正弦函数的性质 会求正弦函数的周期 单调区间和最值 并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题 1 2 3 1 正弦函数的图象正弦函数y sinx x R的图象叫做正弦曲线 我们用 五点法 作出y sinx x R的图象如下图 其中在x 0 2 的图象起关键作用的五个点分别为 1 2 3 做一做1 y sinx的图象的大致形状是图中的 答案 C 1 2 3 1 2 3 做一做2 1 函数y sinx x R 图象的一条对称轴是 A x轴B y轴答案 D答案 0 2 1 2 3 3 周期函数一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得定义域内的每一个x值 都满足f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f x 如果在它的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做它的最小正周期 如果不加特殊说明 三角函数的周期均指最小正周期 归纳总结1 一个周期函数的周期不止一个 若有最小正周期 则最小正周期只有一个 并不是每一个周期函数都有最小正周期 如f x a a为常数 就没有最小正周期 若T是函数f x 的一个周期 则kT k 0 且k Z 也是函数f x 的周期 2 一般地 函数y Asin x 其中A 0 0 x R 的周期为 1 2 3 答案 D 1 探讨正弦函数图象的对称性剖析因为y sinx为奇函数 所以其图象关于原点成中心对称 除了这个中心对称点之外 正弦函数的图象的对称中心也可以是点 0 点 2 0 点 k 0 k Z 由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心 且为 k 0 k Z 它们是图象与x轴的交点 可以看出正弦函数的图象也具有轴对称性 对称轴为x k k Z 它们是过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线 2 教材中的 1 请同学们观察下图 说明将函数y sinx x 0 2 的图象怎样变换就能得到函数y 1 sinx x 0 2 的图象 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 解 列表如下 在直角坐标系中描出表中的五个关键点 并用光滑的曲线连接 然后向两边扩展 得下图所示的图象 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 用 五点法 作出函数y 2 sinx的图象 解 列表如下 在直角坐标系中描出表中的五个点 并用光滑的曲线连接 然后再向两边扩展 如图所示 即得函数y 2 sinx的图象 题型一 题型二 题型三 题型四 分析讨论有关正弦函数的性质 应结合图象从定义域 值域 最值 奇偶性 周期性 单调性 对称性等几方面入手 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系 抽象的概念等显得直观 以此达到化难为易 顺利破解问题的效果 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 判断下列函数的奇偶性 1 f x xsin x 分析利用函数奇偶性的定义进行判断 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 函数f x 的定义域为R 关于原点对称 又f x xsin x xsinx f x x sin x xsinx f x f x 是偶函数 2 函数f x 应满足1 sinx 0 函数f x 的定义域不关于原点对称 该函数既不是奇函数也不是偶函数 题型一 题型二 题型三 题型四 反思通过本题的解答 我们可以得到如下规律 1 函数的定义域是判断函数奇偶性的前提 即首先要看定义域是否关于原点对称 再看f x 与f x 的关系 2 注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法 即偶函数也可判断f x f x 0或 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 判断下列函数的奇偶性 1 f x x2sin 2 x 分析先求函数定义域 再按奇偶性的定义判断 解 1 函数f x 的定义域是R 且f x x2sin x x2sinx 于是f x x 2sin x x2sin x x2sinx f x 故f x 是奇函数 2 要使函数f x 有意义 应有1 sinx 0 即sinx 1 因此所以f x 的定义域是 不关于原点对称 所以f x 是非奇非偶函数 题型一 题型二 题型三 题型四 分析转化成二次函数求最值的问题 要特别注意sinx的范围对二次函数最值的影响 反思求解这类问题 首先利用有关三角函数公式化为y asin2x bsinx c的形式 然后利用二次函数的性质来求解 在解此题时 还要注意已知条件 x 对结果的影响 否则会产生错误 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 求下列各函数的最值 并求出取得最值时x的值 1 f x 4sinx 1 2 f x cos2x 4sinx 分析 1 可直接根据y sinx的最值求解 2 先用cos2x 1 sin2x将函数解析式转化再配方求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析根据函数单调性的定义 所求函数的单调区间必须在函数的定义域内 因此 在求函数的单调区间时 必须先求函数的定义域 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 6 1 下列说法 在作正弦函数的图象时 单位圆的半径与x轴的单位长度要一致 y sinx x 0 2 的图象关于点P 0 对称 正弦函数y sinx的图象不超出直线y 1和y 1所夹的区域 其中 正确说法的个数是 A 1B 2C 3D 4答案 D 1 2 3 4 5 6 A 是奇函数B 是偶函数C 是非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数故f x 是奇函数 答案 A 1 2 3 4 5 6 3 若函数f x 2sinx b的最大值是3 则b的值为 A 1B 3C 3D 1解析 当sinx 1时 f x 有最大值2 b 因此2 b 3 所以b 1 答案 D 1 2 3 4 5 6 答案 1 2 1 2 3 4 5 6 5 若函数f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线y k有且仅有两个不同的交点 则k的取值范围是 答案 1 3 1 2 3 4 5 6 6 求函数y 2cos2x 5sinx 4的最大值和最小值 解 y 2cos2x 5sinx 4 2sin2x 5sinx 2