第6章力法 6 1超静定结构和超静定次数 6 2力法的基本概念 6 3超静定刚架和排架 6 5对称结构的计算 6 6两铰拱 6 7无铰拱 6 8支座移动和温度改变时的计算 6 9超静定结构的位移计算 6 10超静定结构的校核 6 12小结 6 4超静定桁架和组合结构 6 11用求解器进行力法计算 略 超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别 静定结构的内力只根据静力平衡条件即可求出 不必考虑变形协调条件 超静定结构的内力必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件才能全部求出 静力特征 仅由静力平衡方程不能求出全部反力和内力 几何特征 有多余约束的几何不变体系 1超静定结构的组成 6 1超静定结构的组成和超静定次数 从几何构造看 2超静定次数 超静定次数 多余约束力的个数 未知力个数 平衡方程的个数 超静定次数 多余约束的个数 从静力分析看 2次超静定 4次超静定 3次超静定 6次超静定 判断超静定次数时 应注意 1 撤去一根支杆或切断一根链杆 等于拆掉一个约束 2 撤去一铰支座或撤去一个单铰 等于拆掉两个约束 3 撤去一固定端或切断一个梁式杆 等于拆掉三个约束 4 在连续杆中加入一个单铰 等于拆掉一个约束 不要把原结构拆成一个几何可变体系 即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除 1 力法的基本未知量 6 2力法的基本概念 1基本思路 2 力法的基本体系和基本结构 多余约束力 基本未知量 含有多余约束力的静定结构 基本体系 去掉多余约束力和荷载后的静定结构 基本结构 3 力法的基本方程 原结构 基本体系在去掉多余约束处的位移与原结构相同 变形协调条件 M图 FQ图 求出多余约束力后 就可以按静定结构计算剪力了 2多次超静定结构的计算 解 基本体系B点的水平位移和竖向位移等于零 即 力法的基本体系不是唯一的 瞬变体系不能作为力法的基本体系 n次超静定结构 力法的典型方程 柔度系数 j方向的单位力引起的i方向的位移 自由项 荷载引起的i方向的位移 互等定理 计算刚架和排架位移时 为了简化 通常忽略轴力和剪力的影响 轴力的影响在高层刚架的柱中比较大 需要考虑 剪力的影响在短而粗的杆件中比较大 需要考虑 6 3超静定刚架和排架 例6 1试作图示单跨梁的内力图 I1 I2 2 1 2 列出力法方程 11X1 1P 0 解 1 选取基本体系 3 求系数和自由项 5 作内力图 4 求多余约束力 2 作剪力图 1 作弯矩图 以杆件为隔离体 利用已知的杆端弯矩 由平衡条件求出杆端剪力 3 作轴力图 以适当的结点为隔离体 利用平衡条件求轴力 例6 2试求在所示吊车荷载下的内力 已知IS1 10 1 104cm4 IX1 28 6 104cm4 IS2 16 1 104cm4 IX2 81 8 104cm4 MH FPHe 43 2kN m ME FPEe 17 6kN m 2 列出力法方程 11X1 12X2 1P 0 21X1 22X2 2P 0 解 1 选取基本体系 3 计算系数和自由项 图 m 图 m 图 kNm 4 求多余约束力 5 作M图 例6 3求图示超静定桁架的轴力 各杆材料相同 截面面积在表6 1中给出 2 列出力法方程 11X1 1P 0 解 1 选取基本体系 6 4超静定桁架和组合结构 3 计算系数和自由项 图 图 kN 4 解方程 5 作FN图 例6 4求图示超静定组合结构的内力图 AD杆 EI 1 40 104kN m2 EA 1 99 106kN AC CD杆 EA 2 56 105kN BC杆 EA 2 02 105kN 2 列出力法方程 11X1 1P 0 解 1 选取基本体系 图 3 计算系数和自由项 图 m 图 kNm 4 求多余约束力 5 作M图 FN图 没有桁架支撑 横梁弯矩明显增大 图 kN 图 kNm 6 讨论 图 kNm 图 kNm 若下部桁架的截面很大 横梁最大弯矩可进一步减小 支承不对称 刚度不对称 几何 支承 刚度对称 对称结构 非对称结构 对称结构 1 结构的几何形式和支撑情况对某轴对称 2 杆件截面和材料性质也对此轴对称 6 5对称结构的计算 荷载分组 作用在对称结构上的任何荷载都可分解为两组 1 对称荷载绕对称轴对折后 左右两部分荷载作用点相对应 数值相等 方向相同 2 反对称荷载绕对称轴对折后 左右两部分荷载作用点相对应 数值相等 方向相反 反对称荷载分组 对称荷载分组 一般荷载作用 取对称基本结构 只含反对称未知量 取对称基本结构 可使方程部分解偶 只含对称未知量 正对称荷载作用 取对称基本结构 反对称的未知量 0 对称结构正对称荷载作用 M图和FN图正对称 FQ图反对称 变形与位移正对称 反对称荷载作用 取对称基本结构 对称的未知量 0 对称结构反对称荷载作用 M图和FN图反对称 FQ图正对称 变形与位移反对称 例6 5求图示刚架的弯矩图 M 0 基本体系 11X1 1P 0 讨论 弯矩零点在柱顶 弯矩零点在柱中点偏上 弯矩零点在柱中点 刚架承受水平结点荷载的近似计算中 当k 3时 即可按弯矩零点在柱中点进行计算 反弯点法 6 6两铰拱计算 1 取简支曲梁为基本体系 2 列力法方程 3 计算系数和自由项 1 不带拉杆的两铰拱 11X1 1P 0 5 内力计算 4 求多余未知力 即水平推力FH 两铰拱的计算和受力特点 1 从力法计算来看 两铰拱和两铰刚架基本相同 只是 11和 1P按曲杆公式用积分计算 而不能采用图乘法 且在计算 11时 除弯矩的影响外 有时还需考虑轴力的影响 2 从受力特性来看 两铰拱与三铰拱基本相同 内力计算公式在形式上与三铰拱完全相同 只是水平推力FH有所不同 在三铰拱中 推力FH是由平衡条件求得 在两铰拱中 推力FH则由变形条件求得 2 带拉杆的两铰拱 1 取基本体系 2 列力法方程 3 计算系数和自由项 11X1 1P 0 4 求多余未知力 即拉杆的拉力为 6 讨论 E1A1 同不带拉杆的两铰拱 E1A1 0 同简支曲梁 5 内力计算 2 力法基本方程 例6 6求抛物线两铰拱的水平推力 解 3 计算系数和自由项 1 计算简化假设 忽略轴向变形 近似取ds dx cos 1 4 求多余未知力 5 内力计算 例6 7等截面抛物线两铰拱 求其FH和C处MC的影响线 解 忽略轴向变形 近似地取ds dx 1 作基本未知力FH的影响线 2 其它内力的影响线 取对称的基本结构进行简化 利用刚臂进一部简化 目的 确定O点的位置 使 12 21 0 这样 力法方程可以简化为 6 7无铰拱 在x y坐标系下 在坐标系下 若 12 21 0 则 弹性面积对x轴的面积矩 弹性中心法 令 弹性面积 则 d为弹性面积的形心 弹性中心 弹性中心法计算系数和自由项的公式 例6 8试求图示等截面圆弧在均布竖向荷载q 10kN m作用下的内力 设跨度l 10m 矢高f 5m 解 1 求圆拱的半径和半拱的圆心角 2 确定弹性中心O的位置 3 求系数 11和 22 4 求自由项 1P和 2P 5 内力计算 水平推力 拱顶弯矩 拱脚弯矩 6 讨论三铰拱推力 相对差值 例6 9试求等截面圆拱在均匀水压力作用的内力 解 不计轴向变形 取三铰拱为基本结构 因圆形是合理拱轴 故 若忽略轴向变形 则 内力与三铰拱完全相同 计轴向变形 采用弹性中心法 1 不计轴向变形时荷载引起的受力状态 无弯矩状态 可看作是由弹性中心处的多余未知力X1和X2引起的 考虑轴向变形时 2 单纯由轴向变形引起的受力状态 附加内力状态 因此 h 拱截面的厚度 说明 1 对超静定拱 忽略轴向变形时 内力为无弯矩状态 考虑轴向变形 虽然出现弯矩 但数值不大 2 计算中将受力状态分成两部分 好处有 计算简化 借此可了解拱的受力状态 能够更好地保证计算精度 超静定结构有多余约束 因此 超静定结构在没有荷载作用时 只要有发生变形的因素 如支座移动 温度变化 材料收缩 制造误差等 都可以产生内力 这种内力称为自内力 例6 13求图示等截面梁自内力 2 列出力法方程 11X1 1c a 1 选取基本体系 解 6 8支座移动和温度变化时的计算 1 支座移动时的计算 3 计算系数和自由项 4 求多余约束力 5 作M图 1 取基本体系 2 列力法基本方程 3 计算系数和自由项 4 求多余约束力 5 作M图 解法2 解法3 小结 1 力法方程的右侧可不为零 2 力法方程的自由项是基本结构由支座位移产生的 3 内力全部是由多余约束引起的 4 内力与杆件的EI有关 1 取基本体系 2 列力法基本方程 例6 15图示刚架 浇注混凝土时温度为15 C 冬天混凝土外皮温度为 35 C 内皮温度为15 C 欲求此时由于温度变化在刚架中引起内力 各杆EI为常数 E 2 1010MPa 0 00001 解 2 温度变化时的计算 3 计算系数和自由项 4 解方程 5 作内力图 温度变化力法小结 1 力法方程的形式与荷载作用时相同 但自由项不同 2 内力全部由多余未知力产生 3 温度变化引起的内力与杆件EI成正比 4 弯矩图的纵坐标出现在降温面一侧 例6 13求无铰拱由于温度变化和混凝土收缩而产生的内力 解 拱的温度内力为 讨论 1 计算结构表明 拱的推力 内力与刚度成正比 温度下降时 产生拉力 混凝土容易出现裂缝 2 材料收缩可按降温考虑 实际工程考虑到混凝土的徐变 分段施工等 一般对收缩按降温10 15 计算 只要多余约束力满足力法方程 则基本体系的受力与变形就与原结构完全相同 求原结构位移的问题就归结为求基本体系 静定结构 的位移问题 基本体系在荷载和多余约束力作用下的弯矩图与原结构相同 因此 只需将单位力加在基本结构作出单位弯矩图 再与原结构的弯矩图图乘即可 6 9超静定结构的位移计算 解法1 解法2 解法3 单位荷载法计算超静定结构位移的一般公式为 只有荷载作用时 位移计算公式为 只有支座位移作用时 位移计算公式为 只有温度改变作用时 位移计算公式为 例6 14试求超静定梁由于支座位移引起的跨中挠度 解 解 关于校核工作 6 10超静定结构计算的校核 1 要重视校核工作 培养校核习惯 未经校核的计算书不是正式的计算书 2 校核并不是简单的重算一遍 要培养校核的能力 包括用不同方法进行定量校核的能力 运用估算或根据结构的力学性能对结果的合理性进行定性判断的能力 3 要培养科学作风 计算书要整洁易读 层次分明 这样可少出差错 也便于校核 4 校核要分阶段进行 及时发现小错误 避免大返工 关于力法计算的阶段校核工作 1 计算前要校核计算简图和原始数据 检查基本结构是否可变 2 求系数和自由项时 先要校核内力图 并注意正负号 3 方程解完后 应将解答代回原方程 检查是否满足 4 最重要的是对最后内力图进行总检查 总校核 关于最后内力图的校核 1平衡条件的校核 从结构中任意取出的一部分 都应满足平衡条件 2变形条件的校核 一般作法是 任取一个基本结构 任取一个多余未知力 然后根据最后的内力图算出沿此多余约束力方向的位移 并检查是否与原结构的相应位移相等 一般作法 取出一个杆件或一个结点检查是否满足平衡方程 荷载作用 梁和刚架 封闭框架 EI 常数 平衡条件校核 满足平衡条件 变形条件不满足 计算结果错误 1 力法的计算原理 静定基本结构 2 确定基本未知量和选择基本体系 去掉的多余约束的多余约束力 基本未知量 去掉多余约束后得到的静定结构 基本结构 将多余未知力和原荷载 或支座移动 温度变化 作用在基本结构上 基本体系 3 建立力法方程 力法方程代表变形条件 位移应与原结构在相应处的位移相等 6 12小结 4 力法方程中系数和自由项的计算 基本结构 静定结构 的位移 单位荷载法计算 5 超静定结构的内力计算与内力图的绘制 a 静力平衡 b 叠加计算内力和绘制内力图 6 对称性的利用和简化 对称的基本体系 对称或反对称的基本未知量 7 超静定结构的位移计算和变形条件的校核 单位力可以加在任一基本结构上 可取原结构中已知位移条件进行校核 静定结构与超静定结构特性比较