8 4一元线性回归分析 在实际问体中 常会出现需要研究两个变量之间的 关系 它们一般可分为两类 一类是两个变量之间的确定 常用函数关系来表示 另一类是非确定性的变量之间的 关系 如人的年龄与血压 某地区某段时间内的风力强度 与时间的关系等 称之为相关关系 通常用统计的方法来 处理 回归分析就是处理相关关系的数学方法 它是研究 变量之间的关系 同时利用概率统计知识分析和判断所建 立的公式 并能利用公式达到预测 控制的目的 我们只讨论一个随机变量与一个普通变量之间的 相关关系 如果这种相关关系可用一个线性方程近似表 示 则这种统计方法称为一元线性回归 1 一元线性回归的建立 对于n个观测数据 若y与x具有显著的线性相 关关系 则y与x之间的关系可近似地看作是线性关系 因而可用线性方程表示 其中为待定常数 为因随机波动而产生的偏差 我们的目的是利用这些观测数据 用最小二乘法求 出 的值 即可得到 使误差最小 以下用最 小二乘法求出 的估计量 设 使 数a b记作 最小的常 分别称为参数a b的最小二乘估计 令 从中求出a b的解 得 其中 上述确定的方法称为最小二乘法 称 为一元线性回归方程 例8 4 1某单位对家庭拥有的电脑作统计 发现该单位家庭电脑的普及率y如下 试确定y对x的回归直线方程 解对给定的一组数据 为计算 列出表格 所以 所求回归方程为 2 检验 通过上面的讨论可知 对于任何一组观测数据 xi yi i 1 2 n 不论y与x是否存在线性相关关系 可以用最小二乘法求出线性回归方程 值得注意的是 都 有在y与x具有显著的线性相关关系时 只 回归方程 才有意义 否则它是毫无意义的 因此 检验的 目的在于确定y与x之间是否存在线性相关关系 在y a bx 中 如果b 0 说明线性回归方程 不能描述y与x的相关关系 为此 提出假设 H0 b 0 注意到 反映了x对y的影响 而回归 值 就是yi中仅受xi影响的那一部分 由 所以 是除去了xi的影响后受其它 因素影响的部分 于是 将 加以分解 由于 所以 令 于是 容易证明 的平均值等于 的 平均值 因此 U反映了回归值 的离散程 度 称为回归平方和 而Q是扣除了x对y的线性影响后 由其它因素所产生的误差 它反映了观测值偏离回归直 线的程度 称Q为剩余平方和 将U V的公式简化如下 对于yi a bxi i i 1 2 n 如前面所述 1 2 n是相互独立的 且 i N 当H0 b 0成立时 确定统计量 对给定的显著性水平 查F分布表 求得满足 的临界值 通常取 由已给定的样本值算出统计量F的值 如果 接受H0 可认为y对x的线性相关关系不显著 即回归方 程 是无意义的 如果 否定H0 可认为y 对x的线性相关关系显著 即回归方程 是有意 义的 例8 4 1商品的价格x 元 与需求量y 千克 的一组观测数据为 试确定y对x的回归直线方程 并检验所求回归效果是否显著 解对给定的一组数据 画出散点图 如图所示 y o x 1 为计算 列出表格 所求回归方程为 2 由于 因此 当 查F分布表 得 显然 说明回归效果是显著