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3 1微分中值定理与罗必塔法则一 微分中值定理 设 则至少存在一点 1 罗尔中值定理 实际上 切线与弦线AB平行 最小值至少各一次 证 最小值至少各一次 由费马定理可知 例1 证 其中 综上所述 例2 证明方程 有且仅有一个小于1的 正实根 证 1 存在性 则 在 0 1 连续 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于1的正根 2 唯一性 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 至少存在一点 但 矛盾 故假设不真 设 2 拉格朗日中值定理 设 则至少存在一点 切线与弦线AB平行 如何利用罗尔定理来证明 则由已知条件可得 故由罗尔定理 至少存在一点 证 推论1 推论2 C为常数 例3 证明等式 证 设 由推论可知 常数 令x 0 得 又 故所证等式在定义域上成立 自证 经验 欲证 时 只需证在I上 例4 证明不等式 证 设 中值定理条件 即 因为 故 因此应有 3 柯西中值定理 设 则至少存在一点 二 洛必达法则 二 洛必达法则 解 解 注意 1 洛必达法则可以连续用 3 用洛必达法则求未定式的极限 有时候也会失效 这里就不一一举例了 变形整理 例3 这种形式可以直接通分 例4 不存在 故不能用罗必达法则求此极限 实际上 例5
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