高等数学 主讲人宋从芝 河北工业职业技术学院 本讲概要 正项级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法绝对收敛与条件收敛 12 2数项级数的收敛性判别法 根据这一准则 则称该级数为正项级数 由于 即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列 我们知道 单调有界数列必有极限 我们可得到判定正项级数收敛性的一个定理 一 正项级数的收敛性判别法 定义1 定理1正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界 例1试判定正项级数 即其部分和数列有界 因此正项级数收敛 例1试判定正项级数 解由于该级数为正项级数 且部分和 定理2 比较判别法 设有两个正项级数 那么 例2讨论级数 此级数称为p级数 其中p为正常数 解当p 1时 p级数 发散 当p 1时 而调和级数发散 这时p级数发散 即图中带阴影线的面积和 当p 1时 观察其前n项和 对于每一个确定的p值 于是由定理1可知 这时p级数收敛 根据定积分的几何意义 显然 所以部分和数列有界 综上所述可知 p级数当p 1时发散 p 1时收敛 例3 证利用比较判别法 注意到 根据级数性质2知道 例4试判定 解 所给正项级数收敛 仔细分析例3与例4 我们就会发现 或无理式时 该正项级数收敛 否则发散 而其分子分母都是 n的多项式 常数是零次多项式 只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上 不包括一次 例5判定 练习试判定以下正项级数的收敛性 分子是n的一次多项式 解 1 因为通项的分母中 n的最高次数为二次 分母仅比分子高一次 故该级数发散 其中分母n的最高次数为次 分子是零次 分母比分子高次 定理3 达朗贝尔比值判别法 设有正项级数 那么 1 当 1时级数收敛 2 当 1时级数发散 3 当 1时级数可能收敛 也可能发散 例6试证明正项级数 证利用比值审敛法 因为 所以级数收敛 这样的任意项级数就叫做交错级数 二 交错级数收敛性判别法 在级数中 总含有无穷多个正项和负项叫任意项级数 设交错级数 定理4 莱布尼茨收敛判别法 例7试判定交错级数 例7试判定交错级数 解 所以由交错级数判别法可知 例7试判定交错 解在利用交错级数判别法时 对于条件 1 有时可利用导数工具来判断 因为 例8试判定交错 由此可以推得 绝对收敛 定理5 三 绝对收敛与条件收敛 定义3 例9试判定级数 解考察级数 因此由定理5可知该级数收敛 条件收敛 利用正项级数比值判别法 是收敛的 小结正项级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法绝对收敛与条件收敛作业习题12 21 2 3 ThankYou