6 2等差数列及其前n项和 2 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 自测点评 1 等差数列 1 定义 一般地 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 数学语言表示为 n N d为常数 2 等差中项 数列a A b成等差数列的充要条件是 其中A叫做a b的 3 等差数列的通项公式 an 可推广为an 第2项 差 同一个常数 公差 an 1 an d 等差中项 a1 n 1 d am n m d 3 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 2 等差数列及其前n项和的性质 1 若m n p q 则 m n p q N m n 2p 则am an 2ap m n p N 2 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N 是公差为的等差数列 3 若 an bn 是等差数列 p q R 则 pan qbn 也是等差数列 4 设Sn是等差数列 an 的前n项和 则数列也是数列 5 若等差数列 an 的前n项和为Sn 则S2n 1 2n 1 an 6 若n为偶数 则 若n为奇数 则S奇 S偶 a中 中间项 am an ap aq md 等差 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 3 等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 1 an a1 n 1 d可化为an dn a1 d的形式 当d 0时 an是关于n的一次函数 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 2 当d 0时 它是关于n的二次函数 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B为常数 5 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 4 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则Sn存在最值 大 小 2 6 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的打 错误的打 1 若一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 3 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 4 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 5 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 6 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 答案 7 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 2017浙江 6 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 则 d 0 是 S4 S6 2S5 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 解析 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 2017辽宁抚顺重点校一模 在等差数列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 则公差d为 A 14B 7C 7D 14 答案 解析 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 已知 an 为等差数列 Sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则S6 答案 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 答案 解析 5 教材例题改编P16例7 在100以内 包括100 的正整数中有个能被6整除的数 11 知识梳理 双基自测 自测点评 1 用等差数列的定义判断数列是否为等差数列 要注意定义中的三个关键词 从第2项起 每一项与它的前一项的差 同一个常数 2 等差数列与函数的区别 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 3 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 4 等差数列的前n项和公式有两种表达形式 要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式 12 考点1 考点2 考点3 考点4 例1 1 在等差数列 an 中 a4 2 且a1 a2 a10 65 则公差d的值是 A 4B 3C 1D 2 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m等于 A 3B 4C 5D 6思考求等差数列基本量的一般方法是什么 答案 13 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 在等差数列 an 中 a4 2 且a1 a2 a10 65 公差d的值是3 故选B 2 方法一 由已知得 am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 数列 an 为等差数列 d am 1 am 1 m 0 a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 14 考点1 考点2 考点3 考点4 15 考点1 考点2 考点3 考点4 16 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n Sn 已知其中三个就能求出另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 3 减少运算量的设元的技巧 若三个数成等差数列 可设这三个数为a d a a d 若四个数成等差数列 可设这四个数为a 3d a d a d a 3d 17 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练1 1 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 A 100B 99C 98D 97 2 设Sn为等差数列 an 的前n项和 a12 8 S9 9 则S16 答案 18 考点1 考点2 考点3 考点4 19 考点1 考点2 考点3 考点4 20 考点1 考点2 考点3 考点4 例2数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些 21 考点1 考点2 考点3 考点4 1 证明由an 2 2an 1 an 2得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 解由 1 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 22 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 Sn An2 Bn A B为常数 an 是等差数列 2 若证明一个数列不是等差数列 则只要证明存在连续三项不成等差数列即可 23 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练2设数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 2bn 8an 1 求数列 an 的通项公式 24 考点1 考点2 考点3 考点4 25 考点1 考点2 考点3 考点4 考向一等差数列项的性质的应用例3 1 2017福建龙岩一模 在等差数列 an 中 a3 a7是函数f x x2 4x 3的两个零点 则 an 的前9项和等于 A 18B 9C 18D 36 2 已知 an 是等差数列 Sn是其前n项和 若a1 3 S5 10 则a9的值是 思考利用等差数列项的性质解决问题时常用到什么思想方法 答案 解析 26 考点1 考点2 考点3 考点4 考向二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列 an 中 前m项的和为30 前2m项的和为100 则前3m项的和为 思考本例题应用什么性质求解比较简便 答案 解析 27 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想 应用时常将an am 2ap m n 2p m n p N 与am an ap aq m n p q m n p q N 相结合 可减少运算量 2 在等差数列 an 中 依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果 常用的性质有 在等差数列 an 中 数列 28 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 1 已知等差数列 an 的前17项和S17 51 则a5 a7 a9 a11 a13等于 A 3B 6C 17D 51 2 已知等差数列 an bn 的前n项和分 3 已知在等差数列 an 中 其前n项和为Sn S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 答案 29 考点1 考点2 考点3 考点4 30 考点1 考点2 考点3 考点4 3 an 为等差数列 S3 S6 S3 S9 S6成等差数列 2 S6 S3 S3 S9 S6 a7 a8 a9 S9 S6 2 S6 S3 S3 2 36 9 9 45 31 考点1 考点2 考点3 考点4 例5在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法 32 考点1 考点2 考点3 考点4 33 考点1 考点2 考点3 考点4 n N 当n 12或n 13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 又由S10 S15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或n 13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 34 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1 函数法 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 看做二次函数 根据二次函数的性质求最值 2 邻项变号法 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 当 利用性质求出其正负转折项 便可求得前n项和的最值 35 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4 1 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当Sn取最大值时 n的值是 A 5B 6C 7D 8 2 设数列 an 是公差d 0的等差数列 Sn为前n项和 若S6 5a1 10d 则Sn取最大值时 n的值为 A 5B 6C 5或6D 11 答案 解析 36 考点1 考点2 考点3 考点4 1 等差数列的判断方法 1 定义法 2 等差中项法 3 利用通项公式判断 4 利用前n项和公式判断 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第2项起成等差数列 3 方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时 可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系 再通过建立方程 组 求解 37 考点1 考点2 考点3 考点4 注意利用 an an 1 d 时加上条件 n 2 否则 当n 1时 a0无定义 38 思想方法 整体思想在等差数列中的应用整体思想 就是在研究和解决有关数学问题时 通过研究问题的整体形式 整体结构 整体特征 从而对问题进行整体处理的解题方法 从整体上去认识问题 思考问题 常常能化繁为简 变难为易 同时又能培养学生思维的灵活性 敏捷性 整体思想的主要表现形式有 整体代入 整体加减 整体代换 整体联想 整体补形 整体改造等 在等差数列中 若要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时 可以考虑整体代入 39 典例1已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若a3 a4 a5 12 则S7的值为 答案28解析设数列 an 的首项为a1 公差为d a3 a5 2a4 由a3 a4 a5 12得3a4 12 即a4 4 40 典例2在等差数列 an 中 其前n项和为Sn 已知Sn m Sm n m n 则Sm n 答案 m n 解析设 an 的公差为d 则由Sn m Sm n