课题26正方形A组基础题组一、选择题1.(2018保定莲池模拟)菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A.四条边相等,四个角相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分2.(2018石家庄模拟)若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为()A.4 cm2B.2 cm2C.2cm2D.22 cm23.(2018邢台模拟)如图,正方形ABCD的对角线BD长为22,若直线l满足下列条件:点D到直线l的距离为3;A,C两点到直线l的距离相等.那么符合题意的直线l的条数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题4.(2017秦皇岛模拟)如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点,若CED=70,则ABE的度数是.5.(2018唐山路南模拟)如图,四边形ABCD是正方形,AEBE于点E,且AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是.6.(2016张家口一模)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若ABE的面积为18,CE=4,则线段BE的长为.7.(2018秦皇岛海港模拟)过正方形ABCD的顶点A作直线l,过点B,D作l的垂线,垂足分别为点F,E,若DE=1,BF=2,则AB的长度为.三、解答题8.(2018吉林中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:ABEBCF.9.(2017吉林长春模拟)如图,在正方形ABCD中,E为直线AB上的动点(不与A,B重合),作射线DE,并绕点D逆时针方向旋转45,交直线BC于点F,连接EF.探究:当点E在边AB上时,求证:EF=AE+CF.应用:(1)当点E在边AB上,且AD=2时,则BEF的周长是.(2)当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是.B组提升题组一、选择题1.(2018唐山丰南二模)如图,在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则BFC为()A.75B.60C.55D.452.(2018天津中考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF二、填空题3.如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.4.(2018湖北咸宁中考)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为.三、解答题5.(2018廊坊安次二模)(1)【阅读发现】如图,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连接ED、FC,且ED、FC交于点M,则图中ADEDFC,可知ED=FC,求DMC的度数;(2)【拓展应用】如图,在矩形ABCD(ABBC)的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连接ED、FC且ED、FC交于点M.(i)求证:ED=FC;(ii)若ADE=20,求DMC的度数.答案精解精析A组基础题组一、选择题1.D2.B3.B如图,连接AC,与BD相交于O,正方形ABCD的对角线BD长为22,OD=2.直线lAC并且到D的距离为3.同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件,故共有2条直线l.故选B.二、填空题4.255.196.答案213解析设正方形的边长为a(a0),SABE=18,S正方形ABCD=2SABE=36,a2=36,a0,a=6,在RtBCE中,BC=6,CE=4,BE=BC2+CE2=62+42=213.7.答案5解析四边形ABCD是正方形,BAE+DAF=90,ABF+BAE=90,ABF=DAE.可得ABFDAE(AAS),AF=DE=1.在RtABF中,根据勾股定理得:AB=5.三、解答题8.证明四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABE=BCF=90.在ABE和BCF中,AB=BC,ABE=BCF,BE=CF,ABEBCF.9.解析探究:证明:如图1,延长BA到G,使AG=CF,连接DG,图1四边形ABCD是正方形,DA=DC,DAG=DCF=90,又AG=CF,DAGDCF,1=3,DG=DF,ADC=90,EDF=45,EDG=1+2=3+2=45=EDF,DE=DE,GDEFDE,EF=EG=AE+AG=AE+CF.应用:(1)BEF的周长=BE+BF+EF,由探究得:EF=AE+CF,BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4,故答案为4.(2)当点E不在边AB上时,分两种情况:当点E在BA的延长线上时,如图2,图2EF=CF-AE,理由如下:在CB上取CG=AE,连接DG,AE=CG,DAE=DCG=90,AD=DC,DAEDCG,DE=DG,EDA=GDC,ADC=90,EDG=90,EDF+FDG=90,EDF=45,FDG=90-45=45,EDF=FDG=45,在EDF和GDF中,DE=DG,EDF=GDF,DF=DF,EDFGDF,EF=FG,EF=FG=CF-CG=CF-AE.当点E在AB的延长线上时,如图3,图3EF=AE-CF,理由如下:把DAE绕点D逆时针方向旋转90至DCG,可使AD与DC重合,由旋转得DE=DG,EDG=90,AE=CG,EDF=45,GDF=90-45=45,EDF=GDF,DF=DF,EDFGDF,EF=GF,EF=GF=CG-CF=AE-CF.综上所述,当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系为EF=CF-AE或EF=AE-CF.故答案为EF=CF-AE或EF=AE-CF.B组提升题组一、选择题1.B四边形ABCD是正方形,BAD=90,AB=AD,BAF=45,ADE是等边三角形,DAE=60,AD=AE,BAE=90+60=150,AB=AE,ABE=AEB=12(180-150)=15,BFC=BAF+ABE=45+15=60.故选B.2.D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=12AD.AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.故选D.二、填空题3.答案5解析延长GE交AB于点O,作PHOE于点H,则PHAB.P是AE的中点,PH是AOE的中位线,PH=12OA=12(3-1)=1.在RtAOE中,OAE=45,AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2,同理,在PHE中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在RtPHG中,PG=PH2+HG2=5.4.答案(-1,5)解析如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE,FO且GE、FO交于点O.四边形OEFG是正方形,OG=EO,GOM=OEH,OGM=EOH,OGMEOH(ASA).GM=OH=2,OM=EH=3,G(-3,2).O-12,52.点F与点O关于点O对称,点F的坐标为 (-1,5).三、解答题5.解析(1)如图中,四边形ABCD是正方形,AD=AB=CD,ADC=90.ADEDFC,DF=CD=AE=AD.FDC=60+90=150,DFC=DCF=ADE=AED=15.FDE=60+15=75.MFD+FDM=90.FMD=90,DMC=90.(2)(i)ABE为等边三角形,EAB=60,EA=AB.ADF为等边三角形,FDA=60,AD=FD.四边形ABCD为矩形,BAD=ADC=90,DC=AB.EA=DC.EAD=EAB+BAD=150,CDF=FDA+ADC=150,EAD=CDF.在EAD和CDF中,AE=DC,DAE=FDC,AD=DF,EADCDF.ED=FC.(ii)EADCDF,ADE=DFC=20DMC=FDM+DFC=FDA+ADE+DFC=60+20+20=100.