2 3指数与指数函数 高考数学 一 根式的性质 n a 注意a必须使有意义 二 有理数指数幂1 分数指数幂的表示 1 正数的正分数指数幂 a 0 m n N n 1 知识清单 2 正数的负分数指数幂 a 0 m n N n 1 3 0的正分数指数幂是 0 0的 负分数指数幂无意义 2 有理数指数幂的运算性质 1 aras ar s a 0 r s Q 2 ar s ars a 0 r s Q 3 ab r arbr a 0 b 0 r Q 三 指数函数1 指数函数的图象与性质 2 若四个指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置如图所示 则0 c d 1 a b 在y轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小 在y轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小 无论在y轴的左侧还是右侧 底数都按逆时针方向变大 指数函数的图象及其应用1 对于指数型复合函数图象的问题 一般从最基本的指数函数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到 2 关于两种不同类型的函数所对应的零点与方程问题 可利用其图象解决 3 特别注意底数a 1与0 a 1两种不同情况 方法技巧 例1 2016四川成都模拟 如图 平行四边形OABC的面积为8 对角线AC CO AC与BO交于点E 某指数函数y ax a 0 且a 1 的图象经过点E B 则a 解析设点E t at 则点B的坐标为 2t 2at 因为2at a2t 所以at 2 所以平行四边形OABC的面积 OC AC at 2t 4t 8 所以t 2 所以a2 2 a 答案 指数函数的性质及其应用1 与指数函数有关的复合函数的定义域 值域的求法 1 函数y af x 的定义域与y f x 的定义域相同 2 先确定f x 的值域 再根据指数函数的性质确定y af x 的值域 2 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 1 求复合函数的定义域 2 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的 3 分层逐一求解函数的单调区间 4 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 3 对于含ax a2x的表达式 通常可以令t ax进行换元 但一定要注意新元的范围 例2 2016江苏南通四校期中 设函数f x kax a x a 0且a 1 是定义域为R的奇函数 1 若f 1 0 试求不等式f x2 2x f x 4 0的解集 2 若f 1 且g x a2x a 2x 4f x 求g x 在 1 上的最小值 解析因为f x 是定义域为R的奇函数 所以f 0 0 所以k 1 0 即k 1 f x ax a x 符合题意 1 因为f 1 0 所以a 0 又a 0且a 1 所以a 1 因为f x axlna a xlna ax a x lna 0 所以f x 在R上为增函数 易知原不等式可化为f x2 2x f 4 x 所以x2 2x 4 x 即x2 3x 4 0 所以x 1或x1或x 4 2 因为f 1 所以a 即2a2 3a 2 0 所以a 2或a 舍去 所以g x 22x 2 2x 4 2x 2 x 2x 2 x 2 4 2x 2 x 2 令t 2x 2 x x 1 则易知t 所以g x t t2 4t 2 t 2 2 2 t 所以当t 2时 t min 2 此时x log2 1 1 即g x 在 1 上的最小值为 2