11 4 1数学期望 平均数 11 4 5矩 11 4 4常用分布的期望与方差 11 4 3期望和方差的性质 11 4 2方差 11 4期望与方差 1 离散型随机变量的数学期望 定义11 4设离散型随机变量的概率分布为 则称为随机变量的数学期望 简称期望或均值 记作 11 4 1数学期望 平均数 返回 1 24 上一页 上一页 对于离散型随机变量的函数的数学期望有如下公式 如果的数学期望存在 则 返回 2 24 11 4 1数学期望 平均数 例1设的概率分布为 求 返回 3 24 11 4 1数学期望 平均数 返回 4 24 11 4 1数学期望 平均数 2 连续型随机变量的数学期望 定义11 5设连续型随机变量的概率密度是 若积分收敛 则称积分为随机变量的数学期望 记作 即 返回 5 24 11 4 1数学期望 平均数 对于连续型随机变量的函数的数学期望有如下公式 如果的数学期望存在 则 其中是的分布密度函数 返回 6 24 11 4 1数学期望 平均数 例2设随机变量服从均匀分布 求和的数学期望 为常数 返回 7 24 11 4 1数学期望 平均数 返回 8 24 11 4 1数学期望 平均数 定义11 6设是一个随机变量 若存在 则称为的方差 记为 即 标准差 11 4 2方差 返回 9 24 若连续型随机变量的概率密度是 则的方差为 返回 10 24 若离散型随机变量的分布列为 则的方差为 11 4 2方差 由于分布密度有性质 于是 故有 返回 11 24 11 4 2方差 例3设随机变量服从两点分布 其分布列是 求 解 返回 12 24 11 4 2方差 例5设 求的期望与方差 解因为 于是 由于被积函数为奇函数 故积分为零 即 返回 13 24 11 4 2方差 于是 返回 14 24 11 4 2方差 性质1 为任意常数 随机变量的期望和方差具有下列性质 性质2设为常数 则 11 4 3期望和方差的性质 返回 15 24 性质3对于任意两个随机变量 有 11 4 3期望和方差的性质 返回 16 24 推广到多个随机变量的情形 设随机变量 则有 如果随机变量 相互独立 则有 11 4 3期望和方差的性质 返回 17 24 性质4 11 4 3期望和方差的性质 返回 18 24 例6已知 求和 11 4 3期望和方差的性质 由此可知 正态分布中的两个参数 即为正态分布的期望和标准差 由例5知 再由性质4知 返回 19 24 2 二项分布若 其分布列为 1 2 则 11 4 4常用分布的期望与方差 返回 20 24 1 两点分布若的分布列是 则 3 泊松分布若 其分布列为 则 4 均匀分布若 则 11 4 4常用分布的期望与方差 返回 21 24 5 正态分布若 则 若 则 11 4 4常用分布的期望与方差 返回 22 24 随机变量的数学期望是的一阶原点矩 方差是的二阶中心矩 定义11 7设是随机变量 若的期望存在 则称它为随机变量的阶原点矩 若的期望存在 则称它为的阶中心矩 11 4 5矩 返回 23 24 11 4 5矩 返回 24 24 下一页 下一页