概率论与数理统计课程教学大纲学 时 数：54学 分 数：3适用专业：理工类本科执 笔：吴赣昌编写日期：2011 年 6 月课程的性质、目的和任务本课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计的基础知识、参数估计、 假设检验、方差分析与回归分析等方面的基本概念、基本理论和基本运算能力。在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运用所学知识解决实际问题的能力。课程教学的主要内容与基本要求一、随机事件及其概率主要内容： 随机现象，随机事件，样本空间，事件的关系与运算；随机事件的概率：频率及其性质、概率的定义与性质；古典概型，几何概型；条件概率的概念，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式；事件的独立性与性质，伯努利概型。基本要求：1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；2、了解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型的概率；3、掌握概率的加法公式，乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式；4、理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算的方法；5、理解独立重复试验的概率，掌握计算有关事件概率的方法。二、随机变量及其分布主要内容： 随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布，常用离散分布：0-1分布、二项分布、泊松分布；随机变量的分布函数，离散型随机变量的分布函数；连续型随机变量及其概率密度，常用连续分布：均匀分布、指数分布、正态分布；随机变量函数的分布。基本要求：1、理解随机变量及其概率分布的概念。2、理解随机变量分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率；3、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布及其应用；4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；5、掌握正态分布，均匀分布和指数分布及其应用；6、会求简单随机变量函数的概率分布。三、多维随机变量及其分布主要内容： 二维随机变量及其分布函数，二维离散型随机变量及其概率分布，二维连续型随机变量及其概率密度，二维均匀分布，二维正态分布；条件分布的概念，随机变量的独立性，离散型随机变量的条件分布与独立性，连续型随机变量的条件分布与独立性，离散型随机向量的函数的分布，连续型随机向量的函数的分布，最大、最小分布。基本要求：1、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率；2、理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件；3、掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义；4、会求两个独立随机变量的简单函数的分布。四、随机变量的数字特征主要内容： 离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质；方差的概念、计算与性质；协方差的定义与性质，相关系数的定义与性质，矩的概念，协方差矩阵；切比雪夫不等式，大数定理，中心极限定理。基本要求：1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差，相关系数）的概念；并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征；2、掌握常用分布的数字特征；3、会根据随机变量 X 的概率分布求其函数的数学期望；4、会根据随机变量 X 和 Y 的联合概率分布求其函数的数学期望；5、了解切比雪夫不等式；6、了解独立同分布随机变量的大数定理成立的条件及结论；7、了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。五、数理统计的基础知识主要内容： 总体与总体分布，样本与样本分布，分组数据统计表和频率直方图，经验分布函数，统计量，常用统计量；常用统计分布： 分布，t分布和F分布；抽2样分布：单正态总体的抽样分布，双正态总体的抽样分布。基本要求：1、理解总体、简单随机样本、统计量；样本均值、样本方差及样本矩的概念，了解经验分布函数。2、了解 分布，t 分布和 F 分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查2表计算。3、了解正态总体的某些常用抽样的分布六、参数估计主要内容： 点估计的概念，评价估计量的标准：无偏性、有效性、相合性；点估计的常用方法：矩估计法，最大似然估计法；置信区间的概念，寻求置信区间的方法，0-1分布参数的置信区间，单侧置信区间；正态总体的置信区间：单正态总体均值的置信区间，单正态总体方差的置信区间，双正态总体均值差的置信区间，双正态总体方差比的置信区间。基本要求：1、理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；2、掌握矩估计法（一阶、二阶）和最大似然估计法；3、了解估计量的无偏性，有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性；4、了解区间估计的概念，会求单正态总体的均值与方差的置信区间。七、假设检验主要内容： 假设检验的基本概念与一般步骤，单正态总体均值与方差的假设检验，双正态总体均值差与方差比的检验；关于一般总体数学期望的假设检验，分布拟合检验。基本要求：1、理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。2、了解单正态总体均值与方差的假设检验方法及双正态总体均值差与方差比的假设检验。八、方差分析与回归分析主要内容： 单因素试验的方差分析；双因素试验的方差分析：无重复试验双因素方差分析，等重复试验双因素方差分析；一元线性回归：回归模型、最小二乘估计及其性质、回归方程的检验假设、预测问题、控制问题；*多元线性回归简介。基本要求：1、理解单因素试验的方差分析，会计算单因素试验的方差分析表；2、了解一元线性回归模型的建立、方程的求法及其检验方法。各教学环节的学时分配各教学环节学时分配 备注章节 主要内容 讲授实验讨论习题课外其它小计一 随机事件及其概率 6 6二 随机变量及其分布 5 1 6三 多维随机变量及其分布 6 6四 随机变量的数字特征 6 1 1 8五 数理统计的基础知识 6 6六 参数估计 6 2 8七 假设检验 6 2 8八 方差分析与回归分析 4 1 1 6合 计 45 4 5 4 54注：教学环节中的其它环节共 4 学时，安排数学实践训练的教学内容：两个数学实验项目。该环节的考核成绩占课程总成绩的 10。具体内容如下：项目七 概率论 数据统计 区间估计一、目的要求：参见下列分项实验内容。二、主要内容：参见下列分项实验内容。三、方式和时间安排：本项目的实践训练共安排 2 学时，时间安排在数据统计的教学内容结束后。四、场所安排：数学建模与仿真实验室。五、考核方式：根据提交的实验报告按百分制评定成绩。实验 7.1 概率模型（基础实验）目的要求 通过将随机试验可视化，直观地理解概率论中的一些基本概念，从频率与概率的关系来体会概率的统计定义，并初步体验随机模拟方法。通过图形直观理解随机变量及其概率分布的特点。通过观察和分析实验结果加深理解数字特征与分布的统计意义。主要内容 频率与概率；古典概率；几何概型；随机变量的独立性；离散型随机变量及其概率分布；连续型随机变量及其概率分布；随机变量函数的分布。实验 7.2 统计数据（基础实验）目的要求 学习利用 Mathematica 求来自某个总体的一个样本的样本均值、中位数、样本方差、偏度、峰度、样本分位数和其它数字特征，并能由样本作出直方图。主要内容 样本的位置统计、分散性统计、样本中心矩、分布的形状统计、数据的变换；作样本的直方图等。实验 7.3 区间估计（基础实验）目的要求 掌握利用 Mathematica 软件求一个正态总体的均值、方差的置信区间的方法；求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的方法。通过实验加深对统计推断的基本概念的和基本思想的理解。主要内容 .一个正态总体的均值的置信区间（方差已知或未知时关于均值的置信区间） ；两个正态总体均值差的置信区间；一个正态总体的方差的置信区间；两个正态总体方差比的置信区间。实验 7.4 接车问题（综合实验）目的要求 能表述接车问题的分析过程，能表述其数学模型的建立方法，会利用相对频率来计算所求概率，会利用 Mathematica 求解接车问题。主要内容 通过接车问题的具体实例，建立接车问题的数学模型，通过将随机试验可视化，利用相对频率来计算所求概率，并利用 Mathematica 求解该问题。实验 7.5 锁具装箱问题（综合实验）目的要求 能表述锁具装箱问题的分析过程；能表述数学模型的建立方法；会利用排列组合来计算古典概型；会利用 Mathematica 求解锁具装箱问题。主要内容 通过锁具装箱问题的具体实例，建立锁具装箱问题的数学模型，通过将随机试验可视化，利用排列组合来计算古典概型，并利用 Mathematica求解该问题。项目八 假设检验 回归分析和方差分析一、目的和要求：参见下列分项实验内容。二、主要内容：参见下列分项实验内容。三、方式和时间安排：本项目的实践训练共安排 2 学时，时间安排在回归分析的教学内容开始后。四、场所安排：数学建模与仿真实验室。五、考核方式：根据提交的实验报告按百分制评定成绩。实验 8.1 假设检验（基础实验）目的要求 掌握用 Mathematica 作一个正态总体均值、方差的假设检验，以及两个正态总体的均值差、方差比的假设检验方法。主要内容 一个正态总体均值的假设检验（方差已知或未知时关于均值的假设检验） ；两个正态总体均值差的假设检验；一个正态总体方差的假设检验；两个正态总体方差的假设检验。实验 8.2 回归分析（基础实验）目的要求 学习用 Mathematica 求解一元线性回归问题。能正确使用命令Regress，并从输出表中读懂线性回归模型中各参数的估计、回归方程、线性假设的显著性检验结果、因变量 Y 在预测点 的预测区间等。0x主要内容 一元线性回归；多元线性回归；非线性回归*。实验 8.3 方差分析（基础实验）目的要求 学习用 Mathematica 求单因素方差分析的方法.主要内容 用回归分析作单因素方差分析；编程直接计算方差分析表。实验 8.4 路程估计问题（综合实验）目的要求 能进行路程估计问题中的曲线拟合。主要内容 通过路程估计问题的具体实例，建立路程估计问题的数学模型，通过数据分析和曲线拟合，求出路程估计的经验公式，并利用 Mathematica 求解该问题。实验 8.5 用 Excel 软件解数理统计问题（基础实验）目的要求 学习、掌握用 Excel 软件求置信区间、作假设检验、作方差分析和回归分析。主要内容 一般统计：平均数、样本标准差、样本方差；区间估计：估计均值、估计方差；假设检验：单个正态总体方差未知时均值的 t 检验。教材与教学参考资料选用教材：吴赣昌，大学数学立体化教材：概率论与数理统计（理工类） ，中国人民大学出版社，2011 年 3 月。教学参考资料：吴赣昌，大学数学多媒体教学系统：概率论与数理统计（理工类） ，中国人民大学出版社，中国人民大学音像出版社，2011 年 6 月。盛 骤，谢式千等，概率论与数理统计（第三版） ，高等教育出版社，2003年 2 月。王松桂等. 概率论与数理统计，科学出版社，2002 年 5 月。章栋恩，许晓革，高等数学实验，高等教育出版社，2004 年 7 月。