第三节极限的运算法则及存在准则 一 极限的四则运算二 极限的存在准则三 两个重要极限 定理2 8 一 极限的四则运算 下面的定理 仅就函数极限的情形给出 所得的结论对数列极限也成立 证 定理2 8中的 1 和 2 可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况 结论 2 还有如下常用的推论 推论1设limf x 存在 则对于常数c 有 推论2设limf x 存在 则对于正整数k 有 例1 解 例2 解 其中k l为正整数 例3 解 例4 解 一般地 设有多项式 有理整函数 则有 设有理分式函数 有理整函数与有理分式函数统称为有理函数 即 式 3 与式 4 说明对于有理函数求关于的极限时 如果有理函数在点有定义 其极限值就是在点处的函数值 以后可以当做公式使用 例5 解 例6 解 例7 解 例8 解 例9 解 其中m n为正整数 二 极限存在准则 准则1 单调有界准则 单调有界数列必有极限 下面给出几何解释 在数轴上 对应于单调数列的点列只能从开始向一个方向排列 所以只有两种可能情况 或者点列沿数轴移向无穷远处 此时发散 或者点列无限趋近于某一个定点a 常数 也就是以a为极限 现已假定数列是有界的 因此结果只能是后者 证证明数列是单调增加的 按二项式展开 有 例10 比较与中相同位置的项 它们的第一 二项相同 从第三项起到第n 1项的每一项都大于的对应项 并且在中还多出最后一个正项 因此有 根据准则1 数列收敛 将极限值记为e 即 e 2 718281828459045 准则2 夹逼准则 设有三个数列满足条件 证 当n N时 5 式与 6 式同时成立 又由条件 1 可得 类似地 有关于函数极限的夹逼准则 设函数f x g x h x 在点的某去心邻域内有定义 且满足条件 三 两个重要极限 重要极限1 其中的两个等号只在x 0时成立 证 设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C 又作 则sinx BD tanx AC 这就证明了不等式 7 从而有 例11 解 例12 解 例13 解 重要极限2 证 这是重要极限2常用的另一种形式 例14 解 例15 解 例16设有本金1000元 若用连续复利计算 年利率为8 问5年末可得本利和为多少 解设复利一年计算一次 则一年未本利和为 若复利三个月为一期计算 则x年末本利和为 同理 若复利一年计算n次 则x年末本利和为 现设想n无限增大 以致复利接连不断地计算 则n当时 称之为连续复利 其极限为