第五节反常积分 一 无限区间上的反常积分 观察 曲线 开口曲边梯形 的面积可表示为 x y 定义4 5 1若在区间上连续 且 存在 则称此极限为在区间 上的反常积分 记为 此时也称反常积分收敛 否则称反常积分发散 类似的可定义 例4 5 1计算 解 写法可简记为 例4 5 2计算 解原式 例4 5 3计算 解原式 注意 定积分与广义积分算法上有所不同 如由 得 虽然答案对 但算法是错误的 因为无限区间不是对称区间 不能用定积分的性质 否则就会出现错误的答案 0 这都是错误的 因为它们的积分值都不存在 0 二 无界函数的反常积分 观察 曲线 x轴 x 1及y轴所围成的 开口曲边梯形 的面积 y x 定义4 5 2设 在区间 上连续 且 存在 则称此极限为 在区间 上无界函数的反常积分 简称反常积分 记为 此时也称反常积分收敛 否则称反常积分发散 即 当时和当时 可分别定义 解原式 类似的 例4 5 5计算 例4 5 6计算 解原式 注 无界函的反常积分不能用定积分的算法 否则即出现下面的错误 因为它们的定积分都不存在