www.ks5u.com凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）A B C D3.已知，则事件“”发生的概率为（ ）A B C D4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C. D5.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A B C.D6.已知，且，则向量和的夹角为（ ）A B C. D7.已知抛物线的焦点为，点.若线段与抛物线相交于点，则（ ）A B C. D8.设，满足约束条件则目标函数的最小值是（ ）A B C. D9.已知函数，则函数的单调递减区间为（ ）A BC. D10.已知双曲线的中心在原点，焦点，点为左支上一点，满足，且，则双曲线的方程为（ ）A B C. D11.在锐角中，内角，的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）A B C. D12.已知函数，若关于的方程有且仅有个不等实根，则实数的取值范围为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的值等于14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的为15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为16.若且，则的最小值为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和满足，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18. 如图，在梯形中，四边形为正方形，且平面平面.（1）求证：；（2）若与相交于点，那么在棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由.19. 某学校的特长班有名学生，其中有体育生名，艺术生名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于次/分到次/分之间.现将数据分成五组，第一组，第二组，第五章，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为.（1）求的值，并求这名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为心率小于次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.心率小于60次/分心率不小于60次/分合计体育生20艺术生30合计50参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中.20. 已知直线与椭圆相交于，两点，与轴，轴分别相交于点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.（1）若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；（2）当时，若点平方线段，求椭圆的离心率.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若直线与曲线的交点的横坐标为，且，求整数所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当时，证明：.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）由，得.由作差得.又，成等差数列，所以，即，解得.所以数列是以为首项、公比为的等比数列，即.（2）由，得，于是.18.（1）证明：连接.在梯形中，.，.又平面平面，平面平面，平面，平面，.又正方形中，且，平面，平面.又平面，.（2）解：如图所示，在棱上存在点，使得平面平面，且.证明如下：在梯形中，.又，.又正方形中，且，平面，平面，平面，平面，又，且，平面，平面平面.19.解（1）因为第二组数据的频率为，故第二组的频数为，由已知得，前三组频数之比为，所以第一组的频数为，第三组的频数为，第四组的频数为，第五组的数为.所以，解得.这名同学心率的平均值为.（2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于次/分的学生）共名，从而体育生有名，故列联表补充如下.心率小于60次/分心率不小于60次/分合计体育生81220艺术生22830合计104050所以，故有的把握认为心率小于次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得椭圆的方程为.（2）当时，由，得，.，直线的方程为.设，由得，；设，由得，.点平方线段，代入椭圆方程得，符合题意.，.21.解：（1）由题意，知，.若时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；若时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；若时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.综上，若时，在上单调递增；若时，函数在内单调递减，在区间内单调递增；当时，函数在区间内单调递增，在区间内单调递减.（2）由题可知，原命题等价于方程在上有解，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内单调递增.又，所以直线与曲线的交点仅有两个，且两交点的横坐标分别在区间和内，所以整数的所有值为，.22.解：（1）因为，所以曲线的普通方程为；又，展开得，即，因此直线的直角坐标方程为.（2）设，则点到直线的距离为，当且仅当，即时等号成立，即，因此点到直线的距离的最大值为.23.（1）解：由，得，即，解得，所以.（2）证明：（解法一）.因为，所以，所以，.又，故.（解法二）因为，故，而，即，故.