第2课时万有引力定律及应用 基础回扣 1 在处理天体的运动问题时 通常把天体的运动看成是运动 其所需要的向心力由提供 其基本关系式为 在天体表面 忽略自转的情况下有 2 卫星的绕行速度 角速度 周期与轨道半径r的关系 1 由 得v 则r越大 v越小 匀速圆周 万有引力 2 由 得 则r越大 越小 3 由 得T 则r越大 T越大 三种宇宙速度 1 第一宇宙速度 环绕速度 v1 是人造地球卫星的最小发射速度 2 第二宇宙速度 脱离速度 v2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 3 第三宇宙速度 逃逸速度 v3 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 天体质量M 密度 的估算 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T 由 3 7 9km s 11 2km s 16 7km s 4 得 r0为天体的半径 当卫星沿天体表面绕天体运行时 r r0 则 思路方法1 分析天体运动类问题的一条主线就是F万 F向 抓住黄金代换公式GM 2 近地卫星的线速度即第一宇宙速度 是卫星绕地球做圆周运动的速度 也是发射卫星的速度 3 因卫星上物体的重力用来提供绕地球做圆周运动的向心力 所以均处于状态 与重力有关的仪器不能使用 与重力有关的实验不能进行 gR2 最大 最小 失重 4 卫星变轨时 离心运动后速度变 向心运动后速度变 5 确定天体表面重力加速度的方法有 测重力法 单摆法 或竖直上抛 物体法 近地卫星环绕法 小 大 平抛 题型1万有引力定律的应用 例1宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统 通常可忽略其它星体对它们的引力作用 稳定的四星系统存在多种形式 其中一种是四颗质量相等的恒 星位于正方形的四个顶点上 沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动 另一种如图3 2 1所示 四颗恒星始终位于同一直线上 均围绕中点O做匀速圆周运动 已知万有引力常量为G 请回答 1 已知第一种形式中的每颗恒星质量均为m 正方形边长为L 求其中一颗恒星受到的合力 2 已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m 两内侧恒星质量均为M 四颗恒星始终位于同一直线 且相邻恒星之间距离相等 求内侧恒星质量M与外侧恒星质量m的比值 图3 2 1 解析 1 对其中任意一颗恒星 它受到的合力为 2 设相邻两颗恒星间距为a 四颗星总位于同一直线上 即四颗恒星运动的角速度 相同 由万有引力定律和牛顿第二定律 对内侧恒星M有 对外侧恒星m有 解得M m 85 63 答案 1 2 85 63 1 在利用万有引力定律解决天体运动的有关问题时 通常把天体的运动看成匀速圆周运动 其需要的向心力就是由天体之间相互作用的万有引力提供 即 2 对于多星组成系统的匀速圆周运动的向心力 是所受万有引力的合力提供的 预测演练12009年4月15日零时16分 西昌卫星发射中心成功地将我国北斗卫星导航系统建设计划中的第二颗组网卫星 北斗二号 送入地球同步轨道 美国的全球卫星定位系统 简称GPS 中的卫星运行周期约为12小时 则 北斗二号 卫星与GPS卫星相比 A 离地球更近B 线速度更小 C 角速度更大D 加速度更大 解析同步卫星周期T 24小时 由 得知 北斗二号 r1比GPS卫星r2大 故A错 由 得B项正确 答案 B 预测演练2已知万有引力常量G 那么在下列给出的各种情景中 能根据测量的数据求出月球密度的是 A 在月球表面使一个小球做自由落体运动 测出落下的高度H和时间t B 发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船 测出飞船运动的周期T C 观察月球绕地球的圆周运动 测出月球的直径D和月球绕地球运动的周期T D 发射一颗绕月球做圆周运动的卫星 测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T 解析月球密度 求 需先知道M和月球半径R A项由 得 由gR2 GM 求不出 B项由 求得 故B项正确 C项不知月球质量 故C项错 D项不知月球半径 故D项错 答案B 例2 14分 如图3 2 2所示 一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星 其轨道平面与地球赤道平面重合 离地面的高度等于地球半径R0 该卫星不断地向地球发射微波信号 已知地球表面重力加速度为g 1 求卫星绕地球做圆周运动的周期T 2 设地球自转周期为T0 该卫星绕地球转动方向与地球自转方向相同 则在赤道上的任意一点能连续接收到该卫星发射的微波信号的时间是多少 图中A1 B1为开始接收到信号时 卫星与接收点的位置关系 题型2卫星和航天问题 图3 2 2 解题关键1 开始接收到信号时 A1B1恰好为切线 同样 当微波信号消失时 卫星与接收点的连线也为地球的切线方向 2 要注意卫星转动时 地球同时要自转 解答 1 4分 2 设人在B1位置刚好看见卫星出现在A1位置 最后在B2位置看到卫星从A2位置消失 OA1 2OB1 2分 有 A1OB1 A2OB2 2分 设从B1到B2时间为t 则有 4分 则有 2分 答案 1 2 预测演练3为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年 2009年被定为国际天文年 我国发射的 嫦娥一号 绕月卫星在完成了既定任务后 于2009年3月1日16时13分成功撞月 如图3 2 3为 嫦娥一号 卫星撞月的模拟图 卫星在控制点 开始进入撞月轨道 假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为r 周期为T 月球的半径为R 引力常量为G 根据题中信息 以下说法正确的是 图3 2 3 解析由 求得月球质量 R已知 能求得月球密度 故A项正确 嫦娥一号 的质量不知 故B错误 在控制点处进入撞月轨道 嫦娥一号 需做向心运动 所以在 处应减速 D正确 嫦娥一号 没有脱离地球的束缚 知C项错误 答案 AD A 可以求出月球的平均密度 B 可以求出月球对 嫦娥一号 卫星的引力 C 嫦娥一号 在地面发射时的速度大于11 2km s D 嫦娥一号 卫星在控制点 处应减速 预测演练42008年9月25日至28日 我国成功实施了 神舟 七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱 飞船先沿椭圆轨道飞行 后在远地点343千米处点火加速 由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道 在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟 下列判断正确的是 A 飞船变轨前后的机械能相等 B 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度 D 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 解析由于变轨过程中需点火加速 所以变轨后飞船的机械能增大 选项A错误 宇航员出舱前后均与飞船一起做匀速圆周运动 万有引力提供了做圆周运动的向心力 因此出舱前后航天员都处于失重状态 选项B正确 飞船在圆轨道上运行的周期为90分钟 而同步卫星的周期为24小时 所以飞船在圆轨道上运动的角速度大于同步卫星的角速度 选项C正确 只要在同一点受到的万有引力相同 由牛顿第二定律得 即加速度相同 选项D错误 答案 BC 例3在太阳系中有一颗行星的半径为R 若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体 则该物体上升的最大高度为H 已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计 万有引力常量G未知 则根据这些条件 可以求出的物理量是 A 该行星的密度 B 该行星的自转周期 C 该星球的第一宇宙速度 D 该行星附近运行的卫星的最小周期 题型3万有引力定律与抛体运动的结合 解析由竖直上抛运动得根据已知条件不能分析行星的自转情况 B错 据得 C正确 由得 D正确 A错 答案 CD 天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动物体的有关物理量 解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度 再根据万有引力定律求T 天体质量或密度 也可以先根据万有引力定律求重力加速度 再分析抛体运动 预测演练5宇航员在月球上将一小石块水平抛出 最后落在月球表面上 如果已知月球半径R 万有引力常量G 要估算月球质量 还需测量出小石块运动的物理量是 解析由 对平抛运动 水平位移s v0t 竖直位移或 因此得 或 可知B正确 答案 B A 抛出的高度h和水平位移s B 抛出的高度h和运动时间t C 水平位移s和运动时间t D 抛出的高度h和抛出点到落地点的距离L 题型4与万有引力定律有关的能量问题 例4北京时间2009年3月1日16时13分10秒 嫦娥一号卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下 成功地实施了对月球的撞击 现将嫦娥一号卫星的运动过程作以下简化处理 设嫦娥一号卫星质量为m 在距月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动 重力势能为Ep 以月球表面为零势能面 在飞行控制中心的指令下发动机点火向前喷射气体 使卫星瞬间减速制动 在此过程中卫星克服阻力做功 其大小为W 之后变轨撞向月球 已知月球半径为R 月球表面重力加速度为g 忽略月球自转影响 求 1 嫦娥一号卫星制动前绕月球做匀速圆周运动时的速率 2 卫星刚撞到月球表面时的速率 解析 1 设月球的质量为M 卫星绕月球运动速率为v1 由牛顿第二定律得 物体在月球表面有解得 2 设卫星瞬间制动后的速率为v2 由动能定理得 制动后撞向月球 设到达月球表面的速度为v3 由机械能守恒定律得 解得 答案 1 2 1 在只有卫星和天体构成的相互作用系统内 机械能是守恒的 当外力对卫星做正功时 系统机械能增加 2 卫星的动能可利用万有引力定律结合圆周运动知识求出线速度 再求动能 3 当选择月球表面为零势能面时 高度h处的重力势能为Ep mgh 预测演练6发射通信卫星的常用方法是 先用火箭将卫星送入一近地椭圆轨道运行 然后再适时开动星载火箭 将其送上与地球自转同步运行的轨道 那么 A 变轨后瞬间与变轨前瞬间相比 卫星的机械能增大 动能增大 B 变轨后瞬间与变轨前瞬间相比 卫星的机械能增大 动能减小 C 变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要大 D 变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最小速度要小 解析变轨时 需要给卫星提供能量 使其速度变大 从而做离心运动 故A项正确 变轨后卫星运行速度比变轨前在椭圆轨道上最大速度要小 比变轨前的最小速度要大 答案 A 1 嫦娥一号 探月飞船绕月球做 近月 匀速圆周运动 周期为T 则月球的平均密度 的表达式为 k为某个常数 A B kT C D kT2 解析由 与 得 故C项正确 答案 C 2 据美国媒体报道 美国和俄罗斯的两颗通信卫星今年2月11日在西伯利亚上空相撞 这是人类有史以来的首次卫星碰撞事件 碰撞发生的地点位于西伯利亚上空490英里 约790公里 恰好比国际空间站的轨道高270英里 约434公里 这是一个非常常用的轨道 是用来远距离探测地球的卫星和电话卫星的轨道 则以下相关说法中正确的是 A 在碰撞轨道上运行的卫星的周期比国际空间站的周期小 B 国际空间站里的工作人员处于失重状态 C 发射一颗到碰撞轨道运行的卫星 发射速度要大于 11 2km s D 在同一轨道上 若后面的卫星加速 就可能与前面的卫星相碰撞 答案B 解析由 知r大 则T大 故A项错 卫星及卫星内所有物体受地球的万有引力 使其做圆周运动 均处于完全失重状态 故B项正确 在碰撞轨道的卫星是在地球引力下运转 故发射速度不会大于11 2km s 所以C项不对 D项后面卫星加速 就会做离心运动 偏离原来轨道 故D项错误 3 嫦娥一号 月球探测器在环绕月球运行过程中 设探测器运行的轨道半径为r 运行速率为v 当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 A r v都将略为减小 B r v都将保持不变 C r将略为减小 v将略为增大 D r将略为增大 v将略为减小 C 解析由万有引力提供向心力知 当到达质量密集区时 万有引力增大 半径将减小 速度增大 故C对 4 均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的 全球通信 已知地球半径为R 地球表面的重力加速度为g 地球自转周期为T 下面列出的是关于三颗卫星中任意两颗卫星间距离s的表达式 正确的是 A B C D A 解析由题意知s 2rsin60 其中r为三颗卫星的轨道半径 由 g