专题三：“分类讨论”思想一、绝对值、平方根的分类讨论例1.若|a|=3,|b|=2 ,a+b= -5、-1、1、5 例2.如：若a2=9,b2=16 ,a+ b= -7、-1、1、7 二、方程、不等式函数中的分类讨论例1.已知(a-3)x6，求x的取值范围。例2.如果关于x的方程(m-2)x2-2x+ 1=0有实数根,求m的取值范围。 例3：求函数y=(k-1)x2+kx+1与x轴的交点坐标。(1) 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为(-1，0) ；(2) 当此函数为二次函数时，k1，=(k-2)2 ，0，即k2时，有两个交点(-l，0) 、(1/(1-k) ，0) ；=0，即k=2时，有一个交点(-1，0) ；0，即(k-2)20，不存在k的取值。三、针对几何图形的形状进行分类讨论例1.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12,则等腰三角形的顶角为( D )。A.30 B.60 C.150 D.30或150例2.直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 4或5 .例3在ABC中，AB=6，AC=4，D是AB边上的一点，且AD=2，E是AC边上的一点，当AE= 时，ABC和ADE能相似。四、 针对几何图形的位置进行分类讨论1.与线段有关的问题：例：线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC= 4cm或10cm .2. 与等腰三角形有关的问题：例：已知平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，-3），试在坐标轴上找一点P，使PAB为等腰三角形。求出P点的坐标。X轴上：y轴上: 3.与直角三角形有关的问题：例：在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，1），点的坐标为（11,1），点到直线的距离为，且是直角三角形，则满足条件的点有 8 个4.与圆有关的问题，如：点与圆、直线与圆、两圆的位置关系（1）半径分别为10、17的两圆相交，公共弦长为16，求圆心距 9、21 。（2）点M到o的最长距离为5，最短距离为1，则圆的半径为 2、3 。（3）o半径为10cm，弦ABCD,AB=12cm CD=16cm,则AB和CD的距离为 2、14 cm。（4）相切的两圆半径分别为3cm和2cm则两圆的圆心距为 1、5 cm。五、由于动点引起的分类讨论例1、AB垂直OB、AC垂直于OC，A=50,点P是圆上异于B、C的一动点,则BPC的度数是 65或115 。例2：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90度，AB=12cm,BC=9cm,DC=13cm,点P是线段AB上的一个动点，设BP为xcm，三角形PCD的面积为ycm.（1）求AD的长（2）求y与x之间的函数关系式，请求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少。（3）在现段AB上是否存在点P，使得三角形PCD是直角三角形，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由解：(1)作DE垂直于BC，于E点，所以AD=4(2) 设BP为x，y=-x+54,0x12,当x=0时，y取的最大值为54cm2（3）PCD为直角三角形存在两种情况，DPC=900, APDBCP,所以X=6, APD=BPC=450，此情况不存在P1DC=900,所以X=综上所述，当x=6,或x=时，PCD为直角三角形课堂作业：1、关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ A ）A B. C.k2时，2x8，x4.综上，x或x4.3如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)，连接OA，若在直线a上存在点P，使AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是(D)A(8,4)B(8,4)或(3,4)C(8,4)或(3,4)或(2,4)D(8,4)或(3,4)或(2,4)或答案解析点A的坐标为(3,4)，OA5.当APAO时，可知P1(2,4)，P2(8,4)，当OPOA时，可知P3(3,4)，当POPA时，设POPAm.有(m3)242m2，m，m3，P4，故选D.4矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？(C)A4 B12 C4或12 D6或8答案解析如图，S矩形1(13)4；如图，S矩形3(31)12，故选C.5若正比例函数y2kx与反比例函数y(k0)的图象交于点A(m,1)，则k的值是(B)A或 B或C. D.答案解析A(m,1)代入y中，得mk，代入y2kx中，得2k21，k2，所以k.6一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的三个角应该为_答案70，70，40或55，55，70解析当等腰三角形的底角的外角等于110时，其底角为70，顶角为18070240；当等腰三角形的顶角的外角等于110时，其顶角为70，底角为55.7如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADAB6，BC14，点M是线段BC上一定点，且MC8.动点P从C点出发沿CDAB的路线运动，运动到点B停止在点P的运动过程中，使PMC为等腰三角形的点P有_个答案4解析当MC为底边时，MC的中垂线交CD于一点P，该点能满足PMPC；当MC为腰时，分别以C、M为圆心，MC长为半径画圆，C与CD交于一点P，M与AB、AD各有一个交点，因此，满足条件的点P有4个8在ABC中 ，ABAC12 cm，BC6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿BAC的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为_答案11或13解析当0t12时，点P在AB上，2(t3)123(12t)，t11；当12t24时，点P在AC上，23(24t)312t，解得t13.9.平面上A、B两点到直线l的距离分别是5与3，则线段AB的中点C到直线l的距离为 4或1 。10.矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为12或411(2010上海)已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE2，EC1，如图所示把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_答案1或5解析题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F1点，则F1C1；旋转得到F2点，则F2BDE2，F2CF2BBC5.12如图，点A、B在直线MN上， AB11 cm，A、B的半径均为1 cm，A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r1t(t0)，当点A出发后_秒两圆相切答案3或或11或13解析两圆相切可分为如下四种情况：当两圆第一次外切，由题意，可得112t11t，t3；当两圆第一次内切，由题意，可得112t1t1，t；当两圆第二次内切，由题意，可得2t111t1，t11；当两圆第二次外切，由题意，可得2t111t1，t13.所以，点A出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切13(2010柳州)如图，AB是O的直径，弦BC2 cm，F是弦BC的中点，ABC60.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着ABA方向运动，设运动时间为t(s)(0t3)，连接EF，当t值为多少时，BEF是直角三角形解AB是O的直径，ABC60，C90，AB2BC4.当BFE90时，F是BC中点，BF21.在RtBEF中，B60，BE2BF212，AE422.又AE2t，2t2，t1.当BEF90时，在RtBEF时，BEBF，AE43，2t3，t1.75.同样，当t1.752.25时，BEF90.综上，t1或1.75或2.25.14(2011南通)已知A(1,0)，B(0，1)，C(1,2)，D(2，1)，E(4,2)五个点，抛物线ya(x1)2k(a0)，经过其中三个点(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线ya (x1)2k(a0)上；(2)点A在抛物线ya (x1)2k(a0)上吗？为什么？(3)求a和k的值解(1)证明：将C，E两点的坐标代入ya (x1)2k(a0)，得解得a0，与条件a0不符，C、E两点不可能同时在抛物线