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与圆有关的最值(取值范围)问题一、题目分析: 此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1引例1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;2引例2:通过圆的基本性质,寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用;3引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件(DAE=60),构造弦DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1直观感觉,画出图形;2特殊位置,比较结果; 3理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.引例1:在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2设tanBOC=m,则m的取值范围是_引例2:如图,在边长为1的等边OAB中,以边AB为直径作D,以O为圆心OA长为半径作O,C为半圆弧上的一个动点(不与A、B两点重合),射线AC交O于点E,BC=,AC=,求的最大值.引例3:如图,BAC=60,半径长为1的圆O与BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( ). A3 B6 C D三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图,A点的坐标为(2,1),以A为圆心的A切x轴于点B,P(m,n)为A上的一个动点,请探索n+m的最大值例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1如图,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是 .2如图,O的直径为4,C为O上一个定点,ABC=30,动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为 ;(2)在点P的运动过程中,线段AD长度的最大值为 .例三、正弦定理1如图,ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为 2. 如图,定长弦CD在以AB为直径的O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CPAB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法1如图,已知半径为2的O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2x4),则当x= 时,PDCD的值最大,且最大值是为 .2如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边ACD和等边BCE,O外接于CDE,则O半径的最小值为( ).A.4 B. C. D. 23在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画O,P是O上一动点,且P在第一象限内,过点P作O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B,线段AB长度的最小值是 .例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)1如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是 .2如图,RtABC中,C=90,A=30,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作O,若O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是 . 3如图,O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切O于点Q,则PQ的最小值为()ABC3D2例五、其他知识的综合运用1.(2015济南)抛物线y=ax2+bx+4(a0)过点A(1,1),B(5,1),与y轴交于点C(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接CB,以CB为边作CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且CBPQ的面积为30,求点P的坐标;(3)如图2,O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为 上的一动点(不与点A,E重合),MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值2.(2013秋相城区校级期末)如图,已知A、B是O与x轴的两个交点,O的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD的中点(1)判断直线PE与O的位置关系并说明理由;(2)求线段CD长的最小值;(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为 【题型训练】1如图,已知直线l与O相离,OAl于点A,OA=5,OA与O相交于点P,AB与O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在O上存在点Q,使QAC是以AC为底边的等腰三角形,则O的半径r的取值范围为 . 2已知:如图,RtABC中,B=90,A=30,BC=6cm,点O从A点出发,沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒(t0)时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点,过E作EGDE交射线BC于G.(1)若点G在线段BC上,则t的取值范围是 ;(2)若点G在线段BC的延长线上,则t的取值范围是 .3如图,M,N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cmP为M上的任意一点,Q为N上的任意一点,直线PQ与连心线所夹的锐角度数为,当P、Q在两圆上任意运动时,的最大值为( ).(A); (B); (C); (D)4如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作D,P为D上的一个动点,连接AP、OP,则AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B) (C) (D)5如图,在RtABC中,C=90,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( ).A B C5 D6如图,在等腰RtABC中,C=90,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作O,O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为 7如图,A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),C的圆心的坐标为(-1,0),半径为1,若D是C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则ABE面积的最小值是( ). A2 B1 C. D.8如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,D是C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则ABE面积的最大值是( ). A3 B C D49如图,等腰RtABC中,ACB=90,AC=BC=4,C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.410如图BAC60,半径长1的O与BAC的两边相切,P为O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的范围为 .11在直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P()是第一象限内一点,且AB=2,则的范围为 .12在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P是y轴右侧一点,且AP=2,点B上直线y=x+1上一动点,且PBAP于点P,则,则的取值范围是 .13在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是 .老师点评:与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件,构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能找到解决问题的突破口!几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:1特殊位置与极端位置法;2几何定理(公理)法;3数形结合法等注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法参考答案:引例1. 解:C在以A为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,BOC最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得:OC=,BOA=ACO=90,BOC+AOC=90,CAO+AOC=90,BOC=OAC,tanB
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