主讲老师 陈震 2 2等差数列 一 课题导入 1 在现实生活中 我们经常这样数数 从0开始 每隔5数一次 可以得到数列 0 5 2 2000年 在澳大利亚悉尼举行的奥运会上 女子举重被正式列为比赛项目 该项目共设置了7个级别 其中较轻的4个级别体重组成数列 单位 kg 48 53 58 63 课题导入 3 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境 用定期放水清理水库的杂鱼 如果一个水库的水位为18cm 自然放水每天水位降低2 5m 最低降至5m 那么从开始放水算起 到可以进行清理工作的那天 水库每天的水位组成数列 单位 m 18 15 5 13 10 5 8 5 5 课题导入 4 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利 即不把利息加入本金计算下一期的利息 按照单利计算本利和的公式是 本利和 本金 1 利率 寸期 例如 按活期存入10000元钱 年利率是0 72 那么按照单利 5年内各年末的本利和分别是 课题导入 各年末的本利和 单位 元 组成了数列 10072 10144 10216 10288 10360 思考 0 5 10 15 20 48 53 58 63 18 15 5 13 10 5 8 5 5 10072 10144 10216 10288 10360 观察一下上面的这四个数列 这些数列有什么共同特点呢 思考 0 5 10 15 20 48 53 58 63 18 15 5 13 10 5 8 5 5 10072 10144 10216 10288 10360 观察一下上面的这四个数列 这些数列有什么共同特点呢 以上四个数列从第2项起 每一项与前一项的差都等于同一个常数 即 每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点 讲授新课 等差数列 讲授新课 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 等差数列 注意 1 公差d一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 注意 1 公差d一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 2 对于数列 an 若an an 1 d d是与n无关的数或字母 n 2 则此数列是等差数列 d为公差 1 公差d一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 2 对于数列 an 若an an 1 d d是与n无关的数或字母 n 2 则此数列是等差数列 d为公差 3 若d 0 则该数列为常数列 注意 思考 1 你能举一些生活中的等差数列的例子吗 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 分析 由a A b成等差数列得 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 分析 由a A b成等差数列得 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 分析 由a A b成等差数列得 反之 若 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 分析 由a A b成等差数列得 反之 若 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 分析 由a A b成等差数列得 反之 若 即a A b成等差数列 思考 2 如果在a与b的中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 分析 由a A b成等差数列得 成等差数列 反之 若 即a A b成等差数列 由三个数a A b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 A叫做a与b的等差中项 等差中项 由三个数a A b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 A叫做a与b的等差中项 不难发现 在一个等差数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等差中项 等差中项 等差中项 数列 1 3 5 7 9 11 13 等差中项 数列 1 3 5 7 9 11 13 5是3和7的等差中项 1和9的等差中项 等差中项 数列 1 3 5 7 9 11 13 5是3和7的等差中项 1和9的等差中项 9是7和11的等差中项 5和13的等差中项 等差中项 数列 1 3 5 7 9 11 13 a2 a4 a1 a5 5是3和7的等差中项 1和9的等差中项 9是7和11的等差中项 5和13的等差中项 等差中项 数列 1 3 5 7 9 11 13 a2 a4 a1 a5 a4 a6 a3 a7 5是3和7的等差中项 1和9的等差中项 9是7和11的等差中项 5和13的等差中项 在等差数列 an 中 若m n p q 则am an ap aq 等差中项 数列 1 3 5 7 9 11 13 a2 a4 a1 a5 a4 a6 a3 a7 5是3和7的等差中项 1和9的等差中项 9是7和11的等差中项 5和13的等差中项 思考 对于以上的等差数列 我们能不能用通项公式将它们表示出来呢 思考 对于以上的等差数列 我们能不能用通项公式将它们表示出来呢 以a1为首项 d为公差的等差数列 an 的通项公式为 思考 对于以上的等差数列 我们能不能用通项公式将它们表示出来呢 以a1为首项 d为公差的等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1 d 讲解范例 例1 1 求等差数列8 5 2 的第20项 2 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 讲解范例 例2 1 在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求首项a1与d 2 已知数列 an 为等差数列 求a15的值 讲解范例 例3 梯子最高一级宽33cm 最低一级宽为110cm 中间还有10级 各级的宽度成等差数列 计算中间各级的宽度 例4 三个数成等差数列 它们的和为18 它们的平方和为116 求这三个数 讲解范例 例5 已知四个数成等差数列 它们的和为28 中间两项的积为40 求这四个数 讲解范例 讲解范例 例6 某市出租车的计价标准为1 2元 km 起步价为10元 即最初的4km 不含4千米 计费10元 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地 且一路畅通 等候时间为0 需要支付多少车费 课堂小结 1 等差数列定义 即an an 1 d n 2 2 等差数列通项公式 an a1 n 1 d n 1 推导出公式 an am n m d