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2013年中考数学专题复习二次函数与直角三角形26(2012重庆)已知:如图,在平面直角坐标系中,已知RtABC的两条直角边BABC分别在y轴上X轴上,且点B与点O重合,点A(0,3)点C(,), E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和RtABC在BC的同侧(1)当正方形的顶点F恰好落在边AC上时,求过B.C.F三点的函数解析式;(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEF为正方形BEFG,当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t,正方形BEFG的边EF与AC交于点M,点(2,3),连接BD,BM,DM,是否存在这样的t,使BDM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;()()(3)在(2)问的平移过程中,设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质;直角梯形。.解答:解:(1)如图,设正方形BEFG的边长为x,则BE=FG=BG=x,AB=3,BC=6,AG=ABBG=3x,GFBE,AGFABC,即,解得:x=2,即BE=2;(2)存在满足条件的t,理由:如图,过点D作DHBC于H,则BH=AD=2,DH=AB=3,由题意得:BB=HE=t,HB=|t2|,EC=4t,在RtBME中,BM2=ME2+BE2=22+(2t)2=t22t+8,EFAB,MECABC,即,ME=2t,在RtDHB中,BD2=DH2+BH2=32+(t2)2=t24t+13,过点M作MNDH于N,则MN=HE=t,NH=ME=2t,DN=DHNH=3(2t)=t+1,在RtDMN中,DM2=DN2+MN2=t2+t+1,()若DBM=90,则DM2=BM2+BD2,即t2+t+1=(t22t+8)+(t24t+13),解得:t=,()若BMD=90,则BD2=BM2+DM2,即t24t+13=(t22t+8)+(t2+t+1),解得:t1=3+,t2=3(舍去),t=3+;()若BDM=90,则BM2=BD2+DM2,即:t22t+8=(t24t+13)+(t2+t+1),此方程无解,综上所述,当t=或3+时,BDM是直角三角形;(3)如图,当F在CD上时,EF:DH=CE:CH,即2:3=CE:4,CE=,t=BB=BCBEEC=62=,ME=2t,FM=t,当0t时,S=SFMN=tt=t2,当G在AC上时,t=2,EK=ECtanDCB=EC=(4t)=3t,FK=2EK=t1,NL=AD=,FL=t,当t2时,S=SFMNSFKL=t2(t)(t1)=t2+t;如图,当G在CD上时,BC:CH=BG:DH,即BC:4=2:3,解得:BC=,EC=4t=BC2=,t=,BN=BC=(6t)=3t,GN=GBBN=t1,当2t时,S=S梯形GNMFSFKL=2(t1+t)(t)(t1)=t2+2t,如图,当t4时,BL=BC=(6t),EK=EC=(4t),BN=BC=(6t)EM=EC=(4t),S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=t+综上所述:当0t时,S=t2,当t2时,S=t2+t;当2t时,S=t2+2t,当t4时,S=t+23(2012攀枝花)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点ACD均在坐标轴上,且AB=5,sinB=(1)求过ACD三点的抛物线的解析式;(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1y2时,自变量x的取值范围;(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上AE两点之间的一个动点,当P点在何处时,PAE的面积最大?并求出面积的最大值考点:二次函数综合题。专题:动点型。分析:(1)由菱形ABCD的边长和一角的正弦值,可求出OCODOA的长,进而确定ACD三点坐标,通过待定系数法可求出抛物线的解析式(2)首先由AB的坐标确定直线AB的解析式,然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点,然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分(3)该题的关键点是确定点P的位置,APE的面积最大,那么SAPE=AEh中h的值最大,即点P离直线AE的距离最远,那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点解答:解:(1)四边形ABCD是菱形,AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;RtOCD中,OC=CDsinD=4,OD=3;OA=ADOD=2,即:A(2,0)、B(5,4)、C(0,4)、D(3,0);设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x3),得:2(3)a=4,a=;抛物线:y=x2+x+4(2)由A(2,0)、B(5,4)得直线AB:y1=x;由(1)得:y2=x2+x+4,则:,解得:,;由图可知:当y1y2时,2x5(3)SAPE=AEh,当P到直线AB的距离最远时,SABC最大;若设直线LAB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P;设直线L:y=x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,x+b=x2+x+4,且=0;求得:b=,即直线L:y=x+;可得点P(,)由(2)得:E(5,),则直线PE:y=x+9;则点F(,0),AF=OA+OF=;PAE的最大值:SPAE=SPAF+SAEF=(+)=综上所述,当P(,)时,PAE的面积最大,为点评:该题考查的是函数的动点问题,其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识,找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路. (二一二年枣庄市本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限,点C的坐标为点在抛物线的图象上,过点作轴,垂足为,且点横坐标为(1)求证:;(2)求所在直线的函数关系式;ABDCOxy(第25题图)(3)抛物线的对称轴上是否存在点,使是以为直角边的直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由25(本题满分10分) 解:(1) , 1分为等腰直角三角形,在和中,(AAS)3分(2)C点坐标为,BD=CO=1B点的横坐标为,B点坐标为 4分设所在直线的函数关系式为,则有解之,得BC所在直线的函数关系式为6分(3)存在二次函数解析式为=,对称轴为直线 7分若以为直角边,点为直角顶点,对称轴上有一点,使ABDCOxy(第25题图)P1P2 点为直线与对称轴直线的交点由题意,得 解之,得8分若以为直角边,点为直角顶点,对称轴上有一点,使,过点作,交对称轴直线于点CD=OA, A(0,2)易求得直线的解析式为,由 得满足条件的点有两个,坐标分别为10分24(201山东青岛12分)如图,在ABC中,C90,AC6cm,BC8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动连接PQ,设运动时间为t(0t4)s解答下列问题:(1)当t为何值时,PQAB?(2)当点Q在B、E之间运动时,设五边形PQBCD的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式;(3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为SPQES五边形PQBCD129?若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由28(2012江苏镇江本题满分11分)等边ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边APD和等边APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)(1)求证:AMAN;(2)设BPx若BM,求x的值;求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值;连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2)当x为何值时,BAD15?此时,以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由28(2012湖南衡阳10分)(2012衡阳)如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动(点P异于点O)(1)求此抛物线的解析式(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,求证:PF=PR;是否存在点P,使得PFR为等边三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断RSF的形状考点:二次函数综合题。 专题:代数几何综合题;数形结合。分析:(1)根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点,因此D、B关于原点对称,A、B关于x轴对称,得到A、D的坐标后,利用待定系数法可确定抛物线的解析式(2)首先根据抛物线的解析式,用一个未知数表示出点P的坐标,然后表示出PF、RF的长,两者进行比较即可得证;首先表示RF的长,若PFR为等边三角形,则满足PF=PR=FR,列式求解即可;根据的思路,不难看出QF=QS,若连接SF、RF,那么QSF、PRF都是等腰三角形,先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和,用180减去这个和值即可判断出RSF的形状解答:解:(1)抛物线的顶点为坐标原点,A、D关于抛物线的对称轴对称;E是AB的中点,O是矩形ABCD对角线的交点,又B(2,1)A(2,1)、D(2,1);由于抛物线的顶点为(0,0),可设其解析式为:y=ax2,则有:4a=1,a=抛物线的解析式为:y=x2(2)证明:由抛物线的解析式知:P(a,a2),而
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