1 认识一元一次方程1方程有关的概念(1)方程定义：含有未知数的等式叫做方程如：2x10，xy3.谈重点 方程的两个条件含有未知数，未知数可以是一个也可以是几个，一般用x，y，z等字母表示；必须是等式(2)方程的解和解方程方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解谈重点 方程的解的判断判断一个数是不是方程的解，可以将这个数代入原方程验证，只要左、右两边的值相等就是该方程的解解方程：求方程解的过程，叫做解方程区别：方程的解是一个数值，而解方程是求方程解的过程(3)一元一次方程定义：只含有一个未知数(元)，且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程一般形式可表示为：axbc(a0)，其中x是未知数，a，b，c表示常数判断一个方程是不是一元一次方程，关键看方程是否满足三个条件：(1)方程中含未知数的式子必须是整式；(2)只含有一个未知数(元)；(3)未知数的次数是1.如，x2不是一元一次方程，因为方程中的分母中含有未知数；2xy1不是一元一次方程，因为方程中含有两个未知数；xx22不是一元一次方程，因为方程中未知数的最高次数是2.【例1】 已知下列方程：x2；0.3x21；x1；3x22x1；x2；x5y2，其中一元一次方程的个数是( )A2 B3 C4 D5解析：方程中的分母中含有未知数x，所以它不是一元一次方程；方程中未知数x的最高次数是2，不是1，所以它也不是一元一次方程；方程中含有两个未知数，它们分别是x和y，所以也不是一元一次方程；由于方程同时满足一元一次方程的三个条件，所以一元一次方程的个数是3，故选B.答案：B2等式的基本性质(1)等式用等号“”表示相等关系的式子叫等式(2)等式的基本性质等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式若AB，则ACBC.等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式若AB，且C0，则ACBC，.运用等式的基本性质1时，等式两边要同时加上(或减去)同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系比如，在等式2x60中，等式两边同时加上6，得2x6606，即2x6；要防止在等式的一边加(或减)一个代数式，而在等式的另一边没有加(或减)这个代数式的情况发生运用等式的基本性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母如，(a5)x7，等式两边同除以a5，所得的等式x就不一定成立，因为当a5时，没有意义【例21】 下列各选项中，根据等式的性质变形正确的是( )A由xy，得x2yB由3x2x2，得x2C由2x33x，得x3D由3x57，得3x75解析：选项A中，等式两边同乘以3可得，x2y，故选项A错误；选项B中，等式两边都减去2x，得x2，故选项B正确；选项C中，等式两边都减去2x，得3x，即x3，故选项C错误；选项D中，等式两边都加5，得3x75，故选项D错误故选B.答案：B【例22】 若mamb，那么下列等式不一定成立的是( )Aab Bma6mb6Cmamb Dma8mb8解析：仔细观察分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化，从而确定是应用了等式的哪条性质显然选项B和D应用了等式的性质1；选项C是运用了等式的性质2；选项A中，只有当m0时，选项A才能成立，故选项A中的等式不一定成立答案：A3利用等式的基本性质解方程方程是含有未知数的等式，所以可以利用等式的基本性质解方程利用等式的基本性质解一元一次方程，也就是通过正确的变形，将方程化成未知数的系数为1的形式，即xa的形式步骤：(1)利用等式的基本性质1，在方程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数；(2)利用等式的基本性质2，在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解一元一次方程的几种形式及求解方法：xab：方程两边都减去a，得xba；axb(a0)：方程两边都除以a，得x；axbc(a0)：方程两边都减去b，得axcb.再在方程的两边都除以a，得x.【例31】 在解方程3x32x3时，小华同学是这样解的：方程两边同加3，得3x332x33.(1)于是3x2x.方程两边同除以x，得32.(2)所以此方程无解小华同学的解题过程是否正确？如果正确，请指出每一步的理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正分析：第(1)步符合等式的基本性质1，是正确的；第(2)步不符合等式的基本性质2，是错误的因为根据等式的基本性质2，方程两边同除以一个数时，要在这个数不为0的前提下进行，事实上，x是等于0的！解：小华同学的解题过程有错误第(1)步是正确的，他是根据等式的基本性质1进行变形的；第(2)步是错误的，应改为：方程两边同减去2x，得3x2x0.于是x0.【例32】 解方程：(1)5x812； (2)4x22x.分析：利用等式的基本性质求解先利用等式的基本性质1，将方程变形为左边只含有未知数的项，右边只含有常数项，再利用等式的基本性质2，将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x20.方程的两边同时除以5，得x4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x20.方程的两边同时加上2，得2x2.方程的两边同时除以2，得x1.4.方程与代数式及有关概念的综合运用方程常与代数式等有关知识结合来解决问题(1)利用方程的解求代数式的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看成关于字母系数的方程)，再求解即可(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系再列出方程，解方程从而求出字母的值【例41】 已知x2是方程3xax1的解，试求代数式a5的值分析：根据方程的解的定义可知，x2一定使方程左、右两边的值相等，可将x2代入方程3xax1，得到关于a的方程，解方程求出a，再求代数式的值解：把x2代入方程3xax1，得6a21，两边同时减去6，得a3，两边同时除以1，得a3，当a3时，a5358.【例42】 若方程x3a241是一元一次方程，则a_.解析：由一元一次方程中未知数的指数是1，可知方程x3a241中x的指数3a2等于1，得到关于a的方程3a21，再根据等式的基本性质解方程，得a.答案：5列简单的方程解决实际问题利用方程解决实际问题，关键是正确地列出方程列方程就是根据题目中的等量关系列出一个含有未知数的等式列方程的一般步骤：设未知数(通常用x，y，z等字母表示)，分直接设和间接设两种，一般求什么就设什么；分析已知量与未知量之间的关系，找出相等关系(或等量关系)；列方程，即用含有未知数的代数式表示相等关系中左、右两边的量；解答【例5】 育才中学七年级共有328名师生，十一黄金周组织秋游，需要租车已知有2辆校车可乘坐64人，还需要租用44个座位的客车多少辆？分析：先找出题目中的相等关系，再根据相等关系列方程求解本题的相等关系是：乘坐校车的人数乘坐客车的人数师生总人数解：设还需要租用44个座位的客车x辆，则客车可坐44x人根据题意列方程，得44x64328.方程的两边同时减去64，得44x264.方程两边同时除以44，得x6.答：还需要租用44个座位的客车6辆