1平面点集与多元函数 2二元函数的极限 3二元函数的连续性 第十六章多元函数的极限与连续 1平面点集与多元函数 一 平面点集 二 R2上的完备性定理 三 二元函数 四 n元函数 一 平面点集 平面点集的表示 r 1 常见平面点集 全平面和半平面 记为 型域 型域 2 邻域 圆邻域和方邻域 圆邻域内有方邻域 方邻域内有圆邻域 U A U0 A 3 内点 外点和界点 1 内点 比如D x y x2 y2 1 2 外点 3 界点 D x y x2 y2 1 例如 提问 E的内点 外点 界点与E的关系是什么 4 以凝聚程度分为 聚点和孤立点 聚点 从几何上看 所谓A是E的聚点是指在A的附近聚集了无限多个E中的点 即在A的任意近傍都有无限多个E中的点 3 点集E的聚点可以属于E 也可以不属于E 例如 0 0 是聚点但不属于集合 例如 边界上的点都是聚点也都属于集合 1 内点一定是聚点 说明 2 边界点可能是聚点 例如 0 0 既是边界点也是聚点 1 孤立点必为界点 孤立点 说明 2 内点和非孤立的界点一定是聚点 3 既不是聚点 又不是孤立点 则必为外点 例1 设平面点集 讨论此集合的内点集 界点集 聚点集 5 开集和闭集 开集 闭集 例如 为开集 为闭集 为既非开集又非闭集 结论 性质 若E为开集 则CE为闭集 若E为闭集 则CE为开集 1 开集与闭集的对偶性 2 设F1 F2为闭集 则F1 F2和F1 F2都是闭集 3 设E1 E2为开集 则E1 E2和E1 E2都为开集 4 F为闭集 E为开集 则F E为闭集 E F为开集 若E不包含边界 则E为开集 若E包含边界 则E不是开集 证明 必要性 充分性 6 开域 闭域 区域 连通性 E连通 A B E是连通集 即E是连成一片的 如图 开域 若非空开集E具有连通性 则称E是开域 注 开区域是连成一片的 不包括边界的平面点集 闭域 开域连同其边界所成的点集称为闭集 区域 开域 闭域 或开域连同一部分界点所成的点集 通称为区域 7 有界集与无界集 存在矩形区域 为开域 为闭域 为区域 为开集 但不是开域 也不是区域 8 点集的直径 注 1 三角不等式 则对任给的正数 存在N 证明 Pn P0 且 设存在各点互不相同的点列 Pn E Pn U P0 当n N时 小结 P921 1 2 7 9 4 10 作业 二 R2上的完备性定理 1点列的极限 说明 2 定义也可以表示为 5 等价关系 证明必要性 充分性 定理16 1 柯西准则 证必要性 则由三角不等式 及点列收敛定义 充分性 设 定理16 2 闭域套定理 由于 因此 从而有 最后证 的惟一性 若还有 则由 定理16 3 聚点定理 证现用闭域套定理证明 如此下去得到一个闭正方形序列 证 都是有界数列 由数列的致密性定理 数列存在 收敛子列 设 相应也是有界数列 再根据数列的致密性定理 也有收敛的子数列 设 根据16 1习题5 有界无限点列存在 收敛的子点列 定理16 4 有限覆盖定理 三 二元函数 x y 自变量 z 因变量 函数的两个要素 定义域 对应法则 所求定义域为 解 例5求的定义域 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集 二元函数的图象 二元函数的图形通常是一张曲面 如图 例如 例如 9 n维空间 实数x 数轴点 数组 x y 实数全体表示直线 一维空间 平面点 x y 全体表示平面 二维空间 数组 x y z 空间点 x y z 全体表示空间 三维空间 n维空间中两点间距离公式 设两点为 n维空间中邻域概念 区域 内点 边界点 区域 聚点等概念也可定义 四 n元函数 n维向量空间 n元函数的概念 点函数 的写法 小结 7 8 4 6 7 9 12 作业P92