第三章 3 1 3 3 3 2 3 1 直线的倾斜角和斜率 主要内容 3 1 2两条直线平行与垂直的判定 3 1 1倾斜角与斜率 3 1 1 倾斜角与斜率 倾斜角与斜率 思考 对于平面直角坐标系内的一条直线l 它的位置由哪些条件确定呢 两点确定一条直线 还有其他方法吗 或者说如果只给出一点 要确定这条直线还应增加什么条件 在直角坐标系中 图中的四条红色直线在位置上有什么联系和区别 经过同一点倾斜程度不同 倾斜角与斜率 直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与直线l向上方向所成的角 叫做直线l的倾斜角 l1 l2 l3 l4 l1的倾斜角为锐角 l2的倾斜角为直角 l3的倾斜角为钝角 规定 当直线与x轴平行或重合时 它的倾斜角为0o 0o 180o 平面直角坐标系内 任何一条直线都有倾斜角 倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度 事实 问 不同的直线其倾斜角一定不相同吗 在平面直角坐标系中 已知直线上一点不能确定一条直线的位置 同样已知直线的倾斜角 也不能确定一条直线的位置 已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一条直线 一次函数的图象是直线 在坐标系中画出这两条直线 并求这两条直线的倾斜角分别是多少 取点A 1 1 B 1 0 取点C 1 D 1 0 AOB 450 COD 600 实践 取点A 1 2 B 1 0 C 1 0 ACB 450 下列各图中标出的角 是直线的倾斜角吗 一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 斜率通常用k表示 即 直线的斜率 思考 日常生活中 还有没有表示倾斜程度的量呢 前进 升高 当时 k随增大而增大 且k 当时 k随增大而增大 且k 注意 关于直线的倾斜角和斜率 其中 说法是正确的 A 任一条直线都有倾斜角 也都有斜率 B 直线的倾斜角越大 它的斜率就越大 C 平行于x轴的直线的倾斜角是0或 D 两直线的斜率相等 它们的倾斜角相等E 直线斜率的范围是 F 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线 DEF 1 当倾斜角 0o 30o 45o 60o时 这条直线的斜率分别等于多少 2 当倾斜角 120o 135o 150o时 这条直线的斜率分别等于多少 例子 3 当直线的倾斜角在什么范围时 其斜率k 0 当直线的倾斜角在什么范围时 其斜率k 0 倾斜角为锐角时 k 0 倾斜角为钝角时 k 0 倾斜角为0o时 k 0 问题 5 结合图形 观察倾斜角变化时 斜率的变化情况 经过两点 且的直线的斜率k 探究 当直线的方向向上时 x y o 1 斜率公式 公式的特点 1 与两点的顺序无关 2 公式表明 直线的斜率可以通过直线上任意两 3 当x1 x2时 公式不适用 此时 90o 点的坐标来表示 而不需要求出直线的倾斜角 经过两点的直线的斜率公式 1 当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时 用上述公式求斜率 2 当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时 上述公式还适用吗 为什么 特殊问题 由y1 y2 得k 0 由x1 x2 分母为零 斜率k不存在 例1 如图 已知A 4 2 B 8 2 C 0 2 求直线AB BC CA的斜率 并判断这些直线的倾斜角是什么角 直线AB的斜率 直线BC的斜率 直线CA的斜率 直线CA的倾斜角为锐角 直线BC的倾斜角为钝角 解 直线AB的倾斜角为零度角 例3在平面直角坐标系中 画出经过原点且斜率分别为1 1 2及 3的直线l1 l2 l3及l4 思考 斜率随倾斜角逐渐变大是怎样的变化 例2 已知点A 3 2 B 4 1 C 0 l 求直线AB BC CA的斜率 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角 2 过点C的直线与线段 有公共点 求的斜率k的取值范围 例5 已知点 1 求直线AB BC CA的斜率 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角 锐角 钝角 锐角 一半 舍 例6 已知直线 的斜率为 直线的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍 求直线的斜率 错解 1直线倾斜角的概念 2直线的倾斜角与斜率的对应关系 3已知两点坐标 如何求直线的斜率 斜率公式中脚标1和2有顺序吗 小结 P86练习 1 2 3 4 P89习题3 1A组 1 2 3 4 5 作业 x y o 3 1 2 两条直线的平行与垂直的判定 在平面直角坐标系下 倾斜角可以表示直线的倾斜程度 斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜程度 我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位置关系 思考 o y x l1 l2 设两条直线l1 l2的斜率分别为k1 k2 若l1 l2 则k1 k2满足什么关系 思考 k tan 反之 若k1 k2 则易得l1 l2 对于两条不重合的直线 平行的充要条件 两条直线平行的条件 如果两直线垂直 这两条直线的倾斜角有什么关系 斜率呢 思考 如图 设直线l1与l2的倾斜角分别为 1与 2 且 1 2 因为l1 l2 所以 2 90o 1 当k1 k2 1时 直线l1与l2一定垂直吗 探究 是 对于两条互相垂直的直线l1和l2 若一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率如何 对于直线l1和l2 其斜率分别为k1 k2 根据上述分析可得什么结论 两条直线的垂直判定 例1下列说法正确的是 若两条直线斜率相等 则两直线平行 若l1 l2 则k1 k2 若两条直线中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率存在 则两直线相交 若两条直线的斜率都不存在 则两直线平行 例2已知A B C D四点的坐标 试判断直线AB与CD的位置关系 1 A 2 3 B 4 0 C 3 l D l 2 2 A 6 0 B 3 6 C 0 3 D 6 6 3 A 6 0 B 3 6 C 0 3 D 6 6 4 A 3 4 B 3 100 C 10 40 D 10 40 例4 已知A 2 3 B 4 0 P 3 1 Q 1 2 试判断直线BA与PQ的位置关系 并证明你的结论 例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A 0 0 B 2 1 C 4 2 D 2 3 试判断四边形ABCD的形状 并给出证明 例5已知过A 2 m 和B m 4 的直线与斜率为 2的直线平行 则m的值是 A 8B 0C 2D 10 例6 已知A 6 0 B 3 6 P 0 3 Q 6 6 判断直线AB与PQ的位置关系 例7已知A 5 1 B 1 1 C 2 3 试判断 ABC的形状 例8已知点A m 1 B 3 4 C 1 m D 1 m 1 分别在下列条件下求实数m的值 1 直线AB与CD平行 2 直线AB与CD垂直 1 下列命题中正确命题的个数是 若两条直线的斜率相等 则这两条直线平行 若两条直线平行 则这两条直线的斜率相等 若两直线垂直 则这两条直线的斜率之积为 1 若两条直线平行 则这两条直线的倾斜角相等 若两直线的斜率不存在 则这两条直线平行 A 1 B 2 C 3 D 4 A B 3 直线l平行于经过两点A 4 1 B 0 3 的直线 则 直线的倾斜角为 D A 30 B 45 C 120 D 135 4 原点在直线l上的射影是P 2 1 则l的斜率为 2 练习 重难点2 两条直线垂直 1 当l1 l2时 它们的斜率之间的关系有两种情况 它们的斜率都存在且k1k2 1 一条直线的斜率不存在 而另一条直线的斜率为0 2 使用l1 l2 k1k2 1的前提是l1和l2都有斜率且不等于0 注意 在立体几何中 两直线的位置关系有平行 相交和异面 没有重合关系 而在本章中 在同一平面内 两直线有重合 平行 相交三种位置关系 两条直线平行的判定 例1 已知直线l1过点A 3 a B a 1 4 直线l2过点C 1 2 D 2 a 2 1 若l1 l2 求a的值 2 若l1 l2 求a的值 思维突破 由C D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在 由A B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在 因此应对a的取值进行讨论 判断两条直线平行 或垂直 并寻求平行 或垂直 的条件时 特别注意结论成立的前提条件 对特殊情形要数形结合作出判断 变式训练 试确定m的值 使过点A m 1 0 和点B 5 m 的直线与过点C 4 3 和点D 0 5 的直线平行 两条直线垂直的判定例2 已知A 1 1 B 2 2 C 4 1 求点D 使直线AB CD且直线AD BC 变式训练 已知三点A m 1 2 B 1 1 C 3 m2 m 1 若AB BC 求m的值 断四边形ABCD是否为梯形 如果是梯形 是否是直角梯形 平行和垂直关系的综合应用 从而直线BC与DA不平行 四边形ABCD是梯形 1 判断一个四边形为梯形 需要两个条件 有一对相互平行的边 另有一对不平行的边 2 判断一个四边形为直角梯形 首先需要判断它是一个梯形 然后证明它有一个角为直角 注意陷阱 在直角 ABC中 C是直角 A 1 3 B 4 2 点C在坐标轴上 求点C的坐标 错因剖析 没有分类讨论 主观认为点C在x轴上导致漏解 变式训练 已知点A 2 5 B 6 6 点P在y轴上 且 APB 90 试求点P的坐标 1 两条直线平行的判定 2 两条直线垂直的判定 3 思想方法 倾斜角 平行是几何概念 坐标 斜率是代数概念 解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题 小结 P89练习 1 2 P90习题3 1A组 8 B组 3 4 作业 直线的方程 3 2 主要内容 3 2 2直线的两点式方程 3 2 3直线的一般式方程 3 2 1直线的点斜式方程 直线的点斜式方程 3 2 1 在平面直角坐标系内 如果给定一条直线经过的一个点和斜率 能否将直线上所有的点的坐标满足的关系表示出来呢 思考 即 点斜式方程 点斜式方程 直线经过点 且斜率为 设点是直线上不同于点的任意一点 因为直线的斜率为 由斜率公式得 P 1 过点 斜率是的直线上的点 其坐标都满足方程吗 2 坐标满足方程的点都在过点斜率为的直线上吗 上述两条都成立 所以这个方程就是过点斜率为的直线的方程 点斜式方程 思考 或 的方程就是 1 轴所在直线的方程是什么 思考 当直线的倾斜角为时 即 这时直线与轴平行或重合 思考 2 轴所在直线的方程是什么 或 当直线的倾斜角为时 直线没有斜率 这时 直线与轴平行或重合 它的方程不能用点斜式表示 这时 直线上每一点的横坐标都等于 所以它的方程就是 思考 例1直线l经过点P0 2 3 且倾斜角为600 求直线l的点斜式方程 并画出直线l 如果直线的斜率为 且与轴的交点为得直线的点斜式方程 也就是 我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距 该方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定 所以该方程叫做直线的斜截式方程 简称斜截式 直线的斜截式方程 例题 例2已知直线 试讨论 1 的条件是什么 2 的条件是什么 解 且 例3求下列直线的斜截式方程 1 经过点A 1 2 且与直线y 3x 1垂直 2 斜率为 2 且在x轴上的截距为5 例4已知直线l的斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的面积为4 求直线l的方程 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 小结 直线和x轴平行时 倾斜角 0 直线与x轴垂直时 倾斜角 90 3 特殊情况 作业 P95练习 1 2 3 4P100习题3 2A组 1 5 6 10 3 2 2 直线的两点式方程 思考 已知直线经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 y1 y2 如何求出这两个点的直线方程呢 经过一点 且已知斜率的直线 可以写出它的点斜式方程 可以先求出斜率 再选择一点 得到点斜式方程 两点式方程 x y l P2 x2 y2 两点式 P1 x1 y1 斜率 根据两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 截距式方程 x y l A a 0 截距式 B 0 b 解 代入两点式方程得 化简得 横截距 纵截距 例1 已知直线经过点A a 0 B 0 b a 0 b 0 求直线方程 中点坐标公式 已知两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则线段P1P2的中点P0的坐标是什么 x y A x1 y1 B x2 y2 中点 P0的坐标为 例2已知三角形的三个顶点A 5 0 B