第二十二章二次函数 22 3实际问题与二次函数 第2课时实际问题二次函数 二 课前预习 A 商品利润的计算 1 单件利润 售价 2 总利润 单件利润 B 建立二次函数模型解决桥拱等实际问题的一般步骤 1 根据题意建立适当的 2 把已知条件转化为点的 3 合理列出函数的 4 利用待定系数法求出 5 根据求得的解析式进一步分析 判断并进行相关计算 进价 数量 平面直角坐标系 坐标 关系式 函数解析式 课前预习 1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商品的售价为x元 则可卖出 350 10 x 件商品 商品所获得的利润y元与售价x的函数关系为 2 有一个形如抛物线的拱桥 其最大高度为16m 跨度为40m 现把它的示意图放在平面直角坐标系中 如图22 3 5 则抛物线的解析式是 y 10 x2 560 x 7350 y 0 04x2 1 6x 课堂讲练 典型例题 知识点1 利用二次函数求销售活动中的最大利润问题 例1 某企业设计了一款工艺品 每件的成本是50元 为了合理定价 投放市场进行试销 据市场调查 销售单价是100元时 每天的销售量是50件 而销售单价每降低1元 每天就可多售出5件 但要求销售单价不得低于成本 课堂讲练 1 求每天的销售利润y 元 与销售单价x 元 之间的函数关系式 2 当销售单价为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 课堂讲练 解 1 由题意 得y x 50 50 5 100 x y 5x2 800 x 27500 50 x 100 2 y 5x2 800 x 27500 5 x 80 2 4500 a 5 0 抛物线开口向下 50 x 100 对称轴是直线x 80 当x 80时 y最大值 4500 答 当销售单价为80元时 每天的销售利润最大 为4500元 课堂讲练 知识点2 利用二次函数解决抛物线型实际问题 例2 一座抛物线型拱桥如图22 3 7所示 桥下水面宽度是4m时 拱高是2m 当水面下降1m后 水面宽度是多少 结果精确到0 1m 课堂讲练 解 如答图22 3 2 水面的宽度AB 4m 以AB的中点O为坐标原点 AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由抛物线的对称性知 抛物线的顶点C在y轴正半轴上 OA OB 2m OC 2m A 2 0 B 2 0 C 0 2 设y ax2 c 课堂讲练 y x2 2 当水面下降1m时 y 1 这时x2 2 1 解得x1 x2 水面宽度为 2 4 9 m 答 水面宽度是4 9m 课堂讲练 1 某片果园有果树80棵 现准备多种一些果树提高果园产量 但是如果多种树 那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少 单棵树的产量随之降低 若该果园每棵果树产果y kg 增种果树x 棵 它们之间的函数关系如图22 3 6所示 1 求y与x之间的函数关系式 2 当增种果树多少棵时 果园的总产量W kg 最大 最大产量是多少 举一反三 课堂讲练 解 1 设函数的表达式为y kx b 由该一次函数过点 12 74 28 66 该函数的表达式为y 0 5x 80 2 根据题意 得W 0 5x 80 80 x 0 5x2 40 x 6400 0 5 x 40 2 7200 当x 40时 W最大值 7200 当增种果树40棵时 果园的总产量最大 最大产量是7200kg 课堂讲练 2 如图22 3 8 一个高尔夫球在O点处被击出 球的飞行路线满足抛物线y x2 x 其中y m 是球的飞行高度 x m 是球飞出的水平距离 球落地时离洞的水平距离为2m 1 求此次击球中球飞行的最大水平距离 2 若再一次从此处击球 要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞 则球的飞行路线应满足怎样的抛物线 课堂讲练 解 1 由题意 得0 x2 x 解得x1 0 x2 8 此次击球中球飞行的最大水平距离为8m 2 刚好进球洞 则抛物线需过x轴上的 0 0 10 0 球飞行的高度不变 则最高点的纵坐标为 3 2 抛物线的顶点坐标为 5 3 2 设抛物线的解析式为y a x 5 2 3 2 经过点 0 0 25a 3 2 0 解得a 0 128 抛物线的解析式为y 0 128 x 5 2 3 2 分层训练 A组 1 竖直向上发射的小球的高度h m 关于运动时间t s 的函数表达式为h at2 bt 其图象如图22 3 9所示 若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等 则下列时刻中小球的高度最高的是 A 第3sB 第3 9sC 第4 5sD 第6 5s B 分层训练 2 某超市销售一种商品 成本每千克40元 规定每千克售价不低于成本 且不高于80元 经市场调查 每天的销售量y kg 与每千克售价x 元 满足一次函数关系 部分数据如下表 分层训练 1 求y与x之间的函数表达式 2 设商品每天的总利润为W 元 求W与x之间的函数表达式 利润 收入 成本 3 试说明 2 中总利润W随售价x的变化而变化的情况 并指出售价为多少元时获得最大利润 最大利润是多少 解 1 y与x之间的函数表达式是y 2x 200 分层训练 2 由题意 得W x 40 2x 200 2x2 280 x 8000 即W与x之间的函数表达式是W 2x2 280 x 8000 3 W 2x2 280 x 8000 2 x 70 2 1800 40 x 80 当40 x 70时 W随x的增大而增大 当70 x 80时 W随x的增大而减小 当x 70时 W取得最大值 此时W 1800 答 当40 x 70时 W随x的增大而增大 当70 x 80时 W随x的增大而减小 售价为70元时获得最大利润 最大利润是1800元 分层训练 B组 3 有一个抛物线形的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为4m 跨度为10m 如图22 3 10所示 把它的图形放在直角坐标系中 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 如图22 3 10 在对称轴右边1m处 桥洞离水面的高是多少 分层训练 解 1 设这条抛物线所对应的函数关系式是y a x 5 2 4 该函数过点 0 0 0 a 0 5 2 4 解得a 即这条抛物线所对应的函数关系式是y x 5 2 4 2 当x 6时 y 6 5 2 4 答 在对称轴右边1m处 桥洞离水面的高是m 分层训练 C组 4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次 第1档次 最低档次 的产品一天能生产95件 每件利润6元 每提高一个档次 每件利润增加2元 但一天产量减少5件 1 若生产第x档次的产品一天的总利润为y元 其中x为正整数 且1 x 10 求出y关于x的函数关系式 2 生产第几档次的产品工厂一天的总利润最大 最大总利润是多少 分层训练 解 1 第一档次的产品一天能生产95件 每件利润6元 每提高一个档次 每件利润加2元 但一天生产量减少5件 第x档次 提高的档次是 x 1 档 y 6 2 x 1 95 5 x 1 即y 10 x2 180 x 400 其中x是正整数 且1 x 10 分层训练 2 y 10 x2 180 x 400 10 x 9 2 1210 当x 9时 y的最大值为1210元 答 生产第9档次的产品时 工厂一天的总利润最大 最大总利润是1210元