专题10 二次根式考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 二次根式的有关概念和性质二次根式概念：一般地，我们把形如（0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。【注意】1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。2.二次根式是一个非负数。3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（0）就表示a的算术平方根。二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。二次根式的性质： 1含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。2结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。3当a0时，考查题型一 利用二次根式非负性解题1（2013四川中考真题）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）Am6Bm6Cm6Dm6【答案】A【解析】根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得：，解得：。y为负数，6m0，解得：m6。故选A。2（2016四川中考真题）若+b24b+4=0，则ab的值等于（）A2B0C1D2【答案】D【解析】试题分析：由，得：a1=0，b2=0解得a=1，b=2ab=2故选D3（2012湖北中考真题）若与|xy3|互为相反数，则x+y的值为（）A3B9C12D27【答案】D【解析】依题意得.xy27.故选D.考查题型二 判断二次根式有意义的取值范围1（2013四川中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）A B C D且【答案】D【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x1。故选D。2（2018内蒙古中考真题）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）ABCD【答案】A【详解】由题意，得：3x0且x10，解得：x3且x1，在数轴上表示如图： 故选A3（2018山东中考真题）若式子有意义，则实数m的取值范围是 AB且CD且【答案】D【详解】由题意可知： m2且m1故选D考查题型三 根据二次根式性质进行化简1（2012湖南中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|b|，则化简的结果为（ ）A2a+bB-2a+bCbD2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：由数轴可知，b0a，且 |a|b|，.故选C2（2016山东中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是( ) A2a-bB2abCbDb【答案】A【详解】由图可知：，.故选A.3（2011北京中考真题）如果，则a的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B.4（2015湖北中考真题）当1a2时，代数式|1a|的值是( )A1B1C2a3D32a【答案】B【解析】试题解析：1a2，=|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1，+|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1故选A5（2011四川中考真题）已知，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】试题解析：由，得，解得2xy=22.5（-3）=-15，故选A知识点二 二次根式的运算二次根式的乘法法则:【注意】1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。:3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：化简二次根式的步骤（易错点）：1.把被开方数分解因式(或因数) ；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式()2=（0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。二次根式的除法法则：【注意】1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：二次根式的特点：1.被开方数不含分母，例： ；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。【二次根式运算中的注意事项】一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。二次根式比较大小：1、若，则有；2、若，则有3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。考查题型四 二次根式化简的方法1（2016甘肃中考真题）下列根式中是最简二次根式的是ABCD【答案】B【详解】A=，故此选项错误；B是最简二次根式，故此选项正确；C=3，故此选项错误；D=，故此选项错误；故选B2（2018甘肃中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是ABCD【答案】B【详解】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B3（2011广东中考真题）下列二次根式中，最简二次根式的是（）ABCD【答案】C【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、，是最简二次根式；故C选项正确；D=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C考查题型五 二次根式乘除运算的方法1（2015安徽中考真题）计算的结果是（ ）AB4CD2【答案】B【解析】试题解析：.故选B.2.（2013海南中考真题）下列各数中，与的积为有理数的是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：根据实数运算的法则对各选项进行逐一计算作出判断：A、，是无理数，故本选项错误；B、，是无理数，故本选项错误；C、，是有理数，故本选项正确；D、，是无理数，故本选项错误。故选C。3（2018江苏中考真题）计算：=_【答案】2【详解】=2，故答案为：2.4.（2018湖南中考真题）_.【答案】6【详解】原式=2=6故答案为：65（2019安徽中考真题）计算的结果是_.【答案】3【详解】解：，故答案为36（2015广西中考真题）计算：_.【答案】【解析】试题分析：原式=3故答案为37.（2016山东中考真题）计算：= 【答案】12【解析】试题分析：直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案=3=3=12考察题型六 二次根式加减运算的方法1（2018山东中考真题）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_【答案】2【解析】详解：与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，a+1=3，解得：a=2故答案为22（2019江苏中考真题）计算：【答案】【解析】3（2018黑龙江中考真题）计算610的结果是_【答案】 【解析】原式=6-10=6-2=4，故答案为44（2018辽宁中考真题）计算：=_【答案】【解析】详解：原式=3-2=故答案为5（2018湖北中考真题）计算的结果是_【答案】 【详解】=，故答案为：.考查题型七 分母有理化的方法1（2015江苏中考真题）计算的结果是 【答案】5【详解】.故答案为5.2（2019江苏中考真题）计算的结果是_【答案】0【详解】解：原式2-20故答案为03（2015湖南中考真题）把进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）。【答案】2【解析】首先将其进行分母有理数，然后再进行二次根式求和.原式=+=2.4（2019山东中考真题）计算：_【答案】【详解】.故答案为.考查题型八 二次根式混合运算1（2019山东中考真题）计算：_【答案】【详解】解：原式，故答案为：2（2015辽宁中考真题）计算的值是_【答案】1【详解】原式=故答案为3（2015内蒙古中考真题）计算：= 【答案】8【解析】原式=91=8，故答案为84（2015山东中考真题）计算（+）（）的结果为 【答案】1【解析】此题是整式的乘法运算，其符合平方差公式，因此根据公式可直接计算，.考查题型九 二次根式化简求值的方法1（2014四川中考真题）已知，则x12+x22= 【答案】10【解析】，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=2（2019山东中考真题）已知，那么的值是_【答案】4【详解】，故答案为：43（2016湖北中考真题）当a=1时，代数式的值是 【答案】【解析】a=1， a+b=+1+1=2，ab=+1+1=2，=；4（2015吉林中考真题）先化简，再求值：，其中【答案】，5【解析】式=，当时，原式=61=5考查题型十 二次根式比较大小的方法1（2018河南中考模拟）比较大小：2_3（填“”、“”或“”）【答案】【解析】详解：， 2（2019陕西中考模拟）比较大小：5_【答案】【详解】解：5=5故答案为3（2019陕西中考模拟）比较大小：_【答案】【详解】，故答案为：15