第5课时数学归纳法基础达标(水平一)1.用数学归纳法证明“1n+1n+1+1n+2+12n1(nN*,且n2)”时,第二步由n=k到n=k+1时不等式左端的变化是().A.增加了12k+1这一项B.增加了12k+1和12k+2两项C.增加了12k+1和12k+2两项,同时减少了1k这一项D.以上都不对【解析】当n=k时,不等式左端为1k+1k+1+1k+2+12k;当n=k+1时,不等式左端为1k+1+1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2.对比两式,可得结论.【答案】C2.某个命题与正整数n有关,若当n=k(kN*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得().A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若当n=k(kN*)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立;若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k(kN*)时该命题不成立,故选C.【答案】C3.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则().A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14【解析】结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母分别为n,n+1,n2的连续自然数,共有n2-n+1项,且f(2)=12+13+14.【答案】D4.对于不等式n2+nn+1(nN*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:当n=1时,12+11+1,不等式成立;假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k2+kk+1,那么当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+212-1n+2.假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.【解析】将n=k+1代入左边的式子时,最后一项为1(k+2)2,则左边的式子为122+132+1k2+1(k+1)2+1(k+2)2,右边的式子为12-1k+3.【答案】122+132+1k2+1(k+1)2+1(k+2)212-1k+311.在各项均为正的数列an中,其前n项和Sn满足Sn=12an+1an.(1)求a1,a2,a3的值;(2)由(1)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】(1)由S1=a1=12a1+1a1,得a12=1.因为an0,所以a1=1.由S2=a1+a2=12a2+1a2得a22+2a2-1=0.又因为an0,所以a2=2-1.由S3=a1+a2+a3=12a3+1a3得a32+22a3-1=0,所以a3=3-2.(2)猜想an=n-n-1(nN*).用数学归纳法证明如下:当n=1时,a1=1-0=1,命题成立.假设当n=k(kN*)时,ak=k-k-1成立.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=12ak+1+1ak+1-12ak+1ak,即ak+1=12ak+1+1ak+1-12k-k-1+1k-k-1=12ak+1+1ak+1-k所以ak+12+2k ak+1-1=0.又因为an0,所以ak+1=k+1-k,即当n=k+1时,命题成立.由知,对任何的nN*,有an=n-n-1.- 4 -