2 1空间点 直线 平面之间的位置关系 观察长方体 你能发现长方体的顶点 棱所在的直线 以及侧面 地面之间的关系吗 长方体由上下 前后 左右六个面围成 有些面是平行的 有些面是相交的 有些棱所在的直线与面平行 有些棱所在的直线与面相交 每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等 空间中的点 直线 平面之间有什么位置关系 是我们接下来要讨论的问题 1 平面的基本知识 1 平面与我们学过的点 直线 集合等概念一样都是最基本的概念 即为不加定义的原始概念 2 平面的基本特征是无限延展性 平面是理想的 绝对的平 平面是处处平直的面 平面没有大小 没有厚薄和宽窄 是不可度量的 光滑的桌面 平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果 思考 能不能说一个平面长4米 宽2米 为什么 不能 画法 立体几何中通常用平行四边形来表示平面 有时也用圆或三角形等图形来表示平面 画平面水平放置时 常把平行四边形的锐角通常画成45 且横边长等于邻边长的2倍 水平放置 垂直放置 为了增强立体感 如果一个平面被另一个平面遮挡住 常把它遮挡的部分用虚线画出来 3 平面的画法及表示 1 平面的基本知识 画出两个竖直放置的相交平面 练习 表示方法 A B C D 把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上 如平面 平面 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示 如平面ABCD 用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示 如平面AC或者平面BD 3 平面的画法及表示 1 平面的基本知识 1 点 线 面的表示 点 元素 大写字母A B C D 直线 点的集合 小写英文字母或者两个大写英文字母平面 点的集合 用希腊字母表示 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示 2 点 线 面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系 集合与集合关系 2 点 直线 平面的位置关系 点A在直线a上 记作 点B不在直线a上 记作 点A在平面 上 记作 点B不在平面 上 记作 1 点与直线的位置关系 2 点与平面的位置关系 2 点 直线 平面的位置关系 3 直线与平面的位置关系 按公共点个数分三类 直线a与平面 有且只有一个公共点 称直线a与平面 相交 记为 直线a与平面 没有公共点 称直线a与平面 平行 记为 直线a与平面 有无数个公共点 称直线a在平面 内 或称平面 通过直线a 记为 公理1 注1 情况 和 统称为直线a在平面 外 记作 2 点 直线 平面的位置关系 4 平面与平面的位置关系 按有否公共点分两类 当两个不同平面 与平面 有公共点时 它们的公共点组成直线a 称平面 与平面 相交 记作 当平面 与平面 没有公共点时 称平面 与平面 平行 记作 公理3 注2 当平面 上的所有点都在平面 上时 称平面 与平面 重合 公理2 当两个平面有不共线的三个公共点 则两个平面重合 2 点 直线 平面的位置关系 小结 用数学符号来表示点 线 面之间的位置关系 a 练习 平面 与平面 重合 观察下列问题 你能得到什么结论 直尺落在桌面上 直线AB在平面 内 3 平面的基本性质 图形语言 1 公理1 若一条直线上的两点在一个平面内 则这条直线在此平面内 符号语言 该公理反映了直线与平面的位置关系 可用于判定直线是否在平面内 点是否在平面内 又可用直线检验平面 3 平面的基本性质 思考 两个平面会不会只有一个公共点呢 不会 因为平面是无限延展的 因此 两个平面有一个公共点 必然有无数个公共点 并且这些公共点在一条直线上 3 平面的基本性质 P 2 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点 则它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 该公理反映了平面与平面的位置关系 i 该公理是用以判定两个平面相交的依据 只要两个平面有一个公共点 就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线 找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可 ii 该公理可用以判定点在直线上 点是某两平面的公共点 线是这两个平面的公共交线 则该点在交线上 3 平面的基本性质 观察下列问题 你能得到什么结论 自行车需要一个支脚架就可以保持平衡 3 平面的基本性质 3 公理2 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 定义的说明 过不在一条直线上的四点 不一定有平面 故要充分重视 不在一条直线上的三点 这一条件 有且只有一个 强调的是存在性和唯一性两方面 不能用 只有一个 替代 确定一个平面的 确定 是 有且只有 的同义词 3 平面的基本性质 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 证明 存在性 因为A a 在a上任取两点B C 所以过不共线的三点A B C有一个平面 公理2 因为B C 故经过点A和直线a有一个平面 因为B C在a上 所以过直线a和点A的平面一定经过点A B C 由公理2 经过不共线三点A B C的平面只有一个 所以过直线a和点A的平面只有一个 唯一性 所以a 公理1 已知点A a 求证过点A和直线a可以确定一个平面 3 平面的基本性质 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 注3 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据 是证明点 线共面的依据 也是作截面 辅助平面的依据 公理2 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 平面的基本性质 我们知道 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 在空间这一规律是否还成立呢 观察 将一张纸如图进行折叠 则各折痕及边a b c d e 之间有何关系 a b c d e 3 平面的基本性质 符号表示 4 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行具有传递性 注4 该公理是判断空间两条直线平行的方法之一 即要证明两条直线平行 一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节 3 平面的基本性质 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AB与C1D1 AD1与BC1是什么位置关系 为什么 解 1 AB A1B1 C1D1 A1B1 AB C1D1 2 AB C1D1 且AB C1D1 ABC1D1为平行四边形 故AD1 BC1 练习 上例中 AA1与CC1 AC与A1C1的位置是什么关系 例2已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 连结EF FG GH HE 求证 EFGH是一个平行四边形 问1 若上例加上条件AC BD 则四边形EFGH是一个什么图形 见中点找中点 构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 EH是 ABD的中位线 EH FG且EH FG EFGH是一个平行四边形 证明 连结BD 同理 FG BD且FG BD EH BD且EH BD 菱形 问2 若上例中四边形EFGH为矩形 AC与BD垂直吗 另注 平行线段成比例 练习 O E F 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 Q 即交线为QN 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 拓展 4 点线共面问题 1 证明的主要依据 公理1 公理2及其三个推论 2 证明的常用方法 纳入平面法 先由部分元素确定一个平面 再证明其余有关的点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 例1证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证明 因为AB AC A 所以直线AB AC确定一个平面 推论2 因为B AB C AC 所以B C 故BC 公理1 因此直线AB BC CA共面 确定一个面 再证明其余线在该面内 4 点线共面问题 证法二 因为A 直线BC上 所以过点A和直线BC确定平面 推论1 因为B BC 所以B 又A 故AB 同理AC 所以AB AC BC共面 例1证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 证法三 因为A B C三点不在一条直线上 所以过A B C三点可以确定平面 公理2 因为A B 所以AB 公理1 同理BC AC 所以AB BC CA三直线共面 4 点线共面问题 4 点线共面问题 P515证明 一条直线与两条平行直线都相交 则这三条直线共面 已知 a b a c A b c B 求证 直线a b c共面 证明 因为a b 所以直线a b确定一个平面 推论3 因为A a B b 所以A B 又因为A c B c 故AB 公理1 因此直线a b c共面 4 点线共面问题 例2已知一条直线与三条平行直线都相交 证明这四条直线共面 已知 a b c a l A b l B c l C 求证 直线l与a b c共面 证明 a b 直线a b确定一个平面 推论3 l a A l b B A B 又A l B l 故l 同理 直线b c确定一个平面 且l 平面 与 都过两相交直线b l 又 两相交直线确定一个唯一的平面 与 重合 故l与a b c共面 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法 4 点线共面问题 练已知a b a b A P b PQ a 求证 PQ 4 点线共面问题 1 证明的主要依据是公理3 如果两个平面相交 则这两个平面的公共点共线 如果两个平面相交 那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上 2 证明的常用方法 首先找出两个平面 再证这三个点都是这两个平面的公共点 选择其中两点确定一条直线 然后证明另一个点也在其上 一般地 这条直线看作某两个平面的交线 往证第三个点也是两个面的公共点 证明三线共点问题 先证明两条直线交于一个点 再证明第三条直线经过这个点 转化为证明点在线上的问题 5 证明三点共线 三线共点的问题 例1已知三角形ABC的三条边AB BC AC与平面 分别交于P Q R 求证 P Q R共线 B A Q R C P 证明 同理Q R也为公共点 所以P Q R共线 要证明各点共线 只要证明他们是两个相交平面的公共点 5 证明三点共线 三线共点的问题 P533空间四边形ABCD中 E F分别是AB和CB上的点 G H分别是CD和AD上的点 且EH与FG相交于K 求证 EH BD FG三条直线相交于同一点 分析 已知EH FG K 要证EH BD FG共点 即要证明B D K三点共线 而BD是面ABD和面CBD的交线 所以往证K 面ABD 面CBD 而显然 由EH 面ABD K EH 可得K 面ABD 同理 由FG 面CBD K FG 可得K 面CBD 5 证明三点共线 三线共点的问题 小结 空间点 线 面的位置关系平面的基本性质 四个公理 证明直线平行的常用方法点线共面 三线共点 三点共线问题的证明 作业 P515 6P53B组2 3P783 4 8精讲精练 P189 8 见中点找中点 构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 P784 5 G 2 立体几何中求解平面的角度边长面积等问题时 注意重新画出图形 结合几何体找出边角关系并利用平面图形性质求解问题 back 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 精讲精练P24 正方体的截面形状的研究 back 正方体截面形状小结 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体的截面形状 back 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体的截面形状 S 即交线为RS交AA1于中点G K G H S T 即交线为QT交CC1于中点H T 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 back 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体的截面形状 back 画出四面体ABCD中过E F G三点的截面与四面体各面的交线 P 即交线为GP D H 即交线为FH 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 back 1 正方体