备战2019中考初中数学导练学案50讲第19讲 全等三角形【疑难点拨】1. 注意全等三角形的构造方法 (1）截长补短法：补短法或补全法，截长法或分割法；（2）平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线（3）旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。（4）倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。（5）翻折法:若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形2. 巧用全等三角形证明线段相等：三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具。（1）当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用线段中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等。（2）当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相等。3.巧用角平分线解题：（1）显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）（2）构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？（3）巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形【基础篇】一、选择题：1. 如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（）A72B60C58D502. 如图，ACFBDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（）AAFBEBACF=DBECAB=CDDCFDE3. 如图，在ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）A7对 B6对 C5对 D4对4. （2018台湾分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE的度数为何？（）A115B120C125D1305. 已知A1B1C1，A2B2C2的周长相等，现有两个判断：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则A1B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，则A1B1C1A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A正确，错误B错误，正确C，都错误D，都正确二、填空题：6. 如图，已知AB=BC，要使ABDCBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）7. （2018浙江衢州4分）如图，在ABC和DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，ABDE，请添加一个条件，使ABCDEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）8. 如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA于D点，PD=6，则P到OB的距离为 cm三、解答与计算题：9. （2018年江苏省泰州市8分）如图，A=D=90，AC=DB，AC、DB相交于点O求证：OB=OC10. （2018湖南省衡阳6分）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE（1）求证：ABEDCE；（2）当AB=5时，求CD的长【能力篇】一、选择题：11. （2018年江苏省南京市2分）如图，ABCD，且AB=CDE、F是AD上两点，CEAD，BFAD若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（）Aa+cBb+cCab+cDa+bc12. （2018山东临沂3分）如图，ACB=90，AC=BCADCE，BECE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）AB2C2D13. 如图所示，点A、B分别是NOP、MOP平分线上的点，ABOP于点E，BCMN于点C，ADMN于点D，下列结论错误的是()AADBCAB B与CBO互余的角有两个CAOB90 D点O是CD的中点二、填空题：14. （2018湖北荆州3分）已知：AOB，求作：AOB的平分线作法：以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C；画射线OC射线OC即为所求上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 15. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC，CED=35，如图，则EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 度三、解答与计算题：16. （2018浙江宁波10分）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）当AD=BF时，求BEF的度数17. 如图，ADBEDB，BDECDE，B，E，C在一条直线上（1）BD是ABE的平分线吗？为什么？（2）点E平分线段BC吗？为什么？（3）DEBC吗？为什么？18. 如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD（1）试说明ME=MF；（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由【探究篇】19. 在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出线段DE、AD和BE的数量关系，并说明理由（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，直接写出DE、AD和BE的数量关系（不用说明理由）20. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图1，ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足ADE=60，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系小明发现，过点D作DFAC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：AD=DE；（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出ABC与ADE的面积之比第19讲 全等三角形【疑难点拨】1. 注意全等三角形的构造方法 (1）截长补短法：补短法或补全法，截长法或分割法；（2）平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线（3）旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。（4）倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。（5）翻折法:若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形2. 巧用全等三角形证明线段相等：三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具。（1）当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用线段中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等。（2）当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相等。3.巧用角平分线解题：（1）显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）（2）构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？（3）巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形【基础篇】一、选择题：1. 如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（）A72B60C58D50【解答】解：根据三角形内角和可得1=1805058=72，因为两个全等三角形，所以=1=72，故选：A2. 如图，ACFBDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（）AAFBEBACF=DBECAB=CDDCFDE【解答】解：ACFBDE，A=EBD，AFBE，A正确，不符合题意；ACF=BDE，B错误，符合题意；AC=BD，AB=CD，C正确，不符合题意；D=FCA，CFDE，D正确，不符合题意；故选：B3. 如图，在ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）A7对 B6对 C5对 D4对【分析】在ABC中，AB=AC则三角形是等腰三角形，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找【解答】解：AB=AC，BD，CE分别是三角形的高，AEC=ADB=90，ABD=ACE，RtABDRtACE，CE=BD，又AB=AC，ABC=ACB，又ABD=ACE，BCE=CBD，BCECBD同理还有ABFACF；AEOADO；ABOACO；OBEOCD；BFOCFO，总共7对故选：A【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，做题时要从很容易的找起，由易到难，不重不漏4. （2018台湾分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE的度数为何？（）A115B120C125D130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出ABC与AED全等，进而得出B=E，利用多边形的内角和解答即可【解答】解：正三角形ACD，