第2讲椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B圆锥曲线定义及其应用1,3,9,12,174,7,12圆锥曲线的标准方程5,66,15定义法求圆锥曲线方程11,17圆锥曲线的几何性质2,10,14,151,2,3,5,10由几何性质求方程417综合问题7,8,13,16,178,9,11,13,14,16巩固提高A一、选择题1.已知椭圆+=1(ab0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(D)(A)(-3,0)(B)(-4,0)(C)(-10,0)(D)(-5,0)解析:因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a=5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).故选D.2.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则的最大值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由椭圆方程知c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上的点A满足AF2F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-y1,故的最大值为.故选B.3.(2017全国卷)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,椭圆+=1的焦点为(3,0),所以c=3.在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.故选B.4.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点.O为坐标原点.若OAB的面积为1,则p的值为(B)(A)1(B)(C)2 (D)4解析:双曲线-x2=1的渐近线为y=2x,抛物线y2=2px的准线为x=-,渐近线与准线的交点为(-,p),(-,-p),所以SOAB=2p=1,p=,故选B.5.已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,可设双曲线的方程为x2-=(0).因为双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即+3=36,=9,所以双曲线的方程为-=1.故选B.6.焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:设所求双曲线方程为-y2=(0),因为焦点为(0,6),所以|3|=36,所以=12,又因焦点在y轴上,所以=-12,所以所求方程为-y2=-12,即-=1.故选B.7.过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为(B)(A)10(B)13(C)16(D)19解析:由题意,根据双曲线和圆的标准方程可知两圆的圆心分别为双曲线的两焦点,所以|C1C2|=8,|PC1|-|PC2|=2.根据圆的切线与过切点的半径垂直、双曲线的定义,可得|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-32|C1C2|-3=13.故选B.8.已知直线l1,l2是双曲线C:-y2=1的两条渐近线,点P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1距离的取值范围是,1,则点P到渐近线l2距离的取值范围是(A)(A),(B),(C),(D),解析:设点P(x0,y0),由题可设渐近线l1:x-2y=0,渐近线l2:x+2y=0,由点P到直线l1的距离d1=,点P到直线l2的距离d2=,有d1d2=,又-=1,即-4=4,则d1d2=,则d2=,由d2与d1成反比,且d1,1,所以d2,.故选A.二、填空题9.椭圆+=1的长轴长是短轴长的2倍,则a的值为.解析:当a2a且a0,即a1时,此时长轴长是短轴长的2倍,则2a=22,解得a=4;当aa2且a20,即0a1时,此时长轴长是短轴长的2倍,则2=22a,解得a=,所以实数a的值为4或.答案:4或10.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0+1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.解析:由点P(x0,y0)满足0+1,可知P(x0,y0)一定在椭圆内(不包括原点),因为a=,b=1,所以由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|0),将点P坐标分别代入两方程中,所求抛物线的方程为y2=x或x2=-8y.答案:y2=x或x2=-8y12.已知椭圆C:+=1(0b5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则该椭圆的方程是.解析:设焦距为2c,则有解得b2=16,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=113.若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为.解析:由于点C为抛物线的焦点,则|PC|等于点P到抛物线准线x=-2的距离d.又圆心C到抛物线准线的距离为4,则|PQ|+|PC|=|PQ|+d3.当点P为原点,Q为(1,0)时取等号.故|PQ|+|PC|的最小值为3.答案:314.已知双曲线C的渐近线方程是y=2x,右焦点为 F(3,0),则双曲线C的方程为,若已知点N(0,6),且M是双曲线C的左支上一点,则FMN周长的最小值为.解析:因为双曲线C的渐近线方程是y=2x,右焦点为F(3,0),所以所以双曲线C的方程为x2-=1.设左焦点F(-3,0),由双曲线定义可得|MF|=2a+|MF|=2+|MF|,所以FMN的周长为|FN|+|MN|+|MF|=|FN|+|MN|+|MF|+2a|FN|+|FN|+2a=2+=2+6.答案:x2-=16+215.椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是.解析:设椭圆上一点P的坐标为(x,y),则=(x+,y),=(x-,y).因为F1PF2为钝角,所以0,即x2-3+y20,将y2=1-代入,得x2-3+1-0,x22,所以x2.解得-xb0),双曲线方程为-=1(m0,n0),则解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cosF1PF2=.巩固提高B一、选择题1.若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为(B)(A)y=2x(B)y=x(C)y=x (D)y=x解析:由=,令a=m,c=m(m0),则b=m,渐近线方程为y=x=x.故选B.2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为(C)(A)x=1(B)x=2(C)x=-1(D)x=-2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-),与抛物线方程联立得,消去y整理得,x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.3.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(A)(A)(B)3(C)m (D)3m解析:双曲线方程可化为-=1,则c2=3m+3,c=,设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F到渐近线的距离为d=.故选A.4.已知双曲线C1:-=1,且双曲线C2:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是(B)(A)32(B)16(C)8(D)4解析:因为双曲线C2:-=1与双曲线C1:-=1的离心率相同,所以=,解得=,即双曲线C2的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,又因为OMMF2,OMF2的面积为16,所以|OM|MF2|=|MF2|2=16,解得|MF2|=4,即右焦点F2(c,0)到渐近线x-2y=0的距离为4,所以=4,解得c=4,a=8,2a=16,即双曲线C2的实轴长为16.故选B.5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=r2,设A(x0,2),D(-,),点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0,点D(-,)在圆x2+y2=r2上,所以5