4 6函数的应用 二 指数函数 对数函数与幂函数 人教版高中数学B版必修二 一 二 一 几种常见的函数模型 一 二 二 三种函数模型性质的比较1 填空 一 二 2 做一做 某同学在一次数学实验中 获得了如下一组数据 则x y的函数关系最接近 其中a b为待定系数 函数 A y a bxB y bxC y ax2 b答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 指数函数模型例1诺贝尔奖发放方式为 每年一发 把奖金总额平均分成6份 奖励给分别在物理 化学 文学 经济学 生理学和医学 和平上为人类做出最有益贡献的人 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半 另一半利息作基金总额 以便保证奖金数逐年增加 假设基金平均年利率为r 6 24 资料显示 2015年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元 设f x 表示第x x N 年诺贝尔奖发放后的基金总额 2015年记为f 1 2016年记为f 2 依次类推 1 用f 1 表示f 2 与f 3 并根据所求结果归纳出函数f x 的表达式 2 试根据f x 的表达式判断网上一则新闻 2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元 是否为真 并说明理由 参考数据 1 03129 1 32 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 分析 指数型函数模型的应用是高考的一个主要内容 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中 有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以用指数型函数模型来表示 通常可表示为y a 1 p x 其中a为原来的基础数 p为增长率 x为时间 的形式 解 1 由题意知f 2 f 1 1 6 24 f 1 6 24 f 1 1 3 12 f 3 f 2 1 6 24 f 2 6 24 f 2 1 3 12 f 1 1 3 12 2 f x 19800 1 3 12 x 1 x N 2 2024年诺贝尔奖发放后基金总额为f 10 19800 1 3 12 9 26136 故2025年度诺贝尔奖各项奖金为f 10 6 24 136 万美元 与150万美元相比少了约14万美元 是假新闻 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟指数函数模型的应用指数函数y ax a 1 经复合可以得到指数型函数 指数型函数的函数值变化较快 指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同 并且根据已知数据的关系能建立起模型 进而能对未知进行推断 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1某城市现有人口总数为100万 如果年自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市的人口总数y 万 与年数x 年 的函数关系式 2 计算10年后该城市人口总数 精确到0 1万 3 计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万 精确到1年 1 1 2 10 1 127 1 1 2 15 1 196 1 1 2 16 1 21 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 万 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 万 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 3 万 该城市人口总数y 万 与年数x 年 的函数关系式为y 100 1 1 2 x 2 10年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 10 100 1 127 112 7 万 3 令y 120 则有100 1 1 2 x 120 解方程可得x 16 即大约16年后该城市人口总数将达到120万 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 对数函数模型例2某地一渔场的水质受到了污染 渔场的工作人员对水质检测后 决定往水中投放一种药剂来净化水质 已知每投放质量为m m N 个单位的药剂后 经过x天该药剂在水中释放的浓度y 毫克 升 满足y mf x 其中当药剂在水中释放的浓度不低于6 毫克 升 时称为有效净化 当药剂在水中释放的浓度不低于6 毫克 升 且不高于18 毫克 升 时称为最佳净化 1 如果投放的药剂质量为m 6 那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天 2 如果投放的药剂质量为m 为了使在8天 从投放药剂算起包括第8天 之内的渔场的水质达到最佳净化 试确定应该投放的药剂质量m的取值范围 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 1 由题设知投放的药剂质量为m 6 渔场的水质达到有效净化 6f x 6 f x 1 0 x 5或5 x 8 0 x 8 即如果投放的药剂质量为m 6 渔场水质达到有效净化一共可持续8天 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟对数函数模型的应用对数函数y logax x 0 a 1 经复合可以得到对数型函数 其函数值变化比较缓慢 涉及对数式 因此要格外注意真数的取值范围 还要结合实际问题使所求问题有实际意义 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 延伸探究我们常说的里氏震级M 其计算公式为M lgA lgA0 其中 A是被测地震的最大振幅 A0是 标准地震 的振幅 使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差 1 假设在一次地震中 一个距离震中100km的测震仪记录的地震的最大振幅为20 此时标准地震的振幅是0 001 计算这次地震的震级 精确到0 1 其中lg2 0 3010 2 5级地震给人的震感已比较明显 计算7 6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍 精确到1 其中102 6 398 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 1 依题意可知M lg20 lg0 001 lg lg20000 lg2 lg104 lg2 4 4 3 因此这是一次约里氏4 3级的地震 当M 7 6时 地震的最大振幅为A1 A0 107 6 当M 5时 地震的最大振幅为A2 A0 105 所以7 6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 幂函数模型例3在固定压力差 压力差为常数 下 当气体通过圆形管道时 其流量速率R cm3 s 与管道半径r cm 的四次方成正比 1 假设气体在半径为3cm的管道中 流量速率为400cm3 s 求该气体通过半径为rcm的管道时 其流量速率R的表达式 2 已知 1 中的气体通过的管道半径为5cm 计算该气体的流量速率 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟对于幂函数模型在实际的工程 科研等领域都有较广泛的应用 此种模型相对形式简单 但不同的实际问题其对应模型的系数和幂次相差很大 很多实际问题一般直接给出模型结构形式 我们只需分析数据 利用数据确定参数即可 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 建立拟合函数模型例4某个体经营者把开始六个月试销售A B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 请从y y kx b y ax2 bx c中选取合适的函数模型拟合A B两种方案 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品 但不知投入A B两种商品各多少万元才合算 请你帮助制定一个资金投入方案 使得该经营者能获得最大利润 并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 以投资额x为横坐标 纯利润y为纵坐标 在平面直角坐标系中画出散点图 如图 1 2 所示 观察散点图可以看出 A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟 如图 1 所示 取 4 2 为最高点 则y a x 4 2 2 a 0 再把点 1 0 65 代入 得0 65 a 1 4 2 2 解得a 0 15 所以y 0 15 x 4 2 2 B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的 可以用一次函数模型进行模拟 如图 2 所示 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟解决拟合函数模型问题一般有以下步骤 1 根据原始数据 表格 绘出两个变量之间的散点图 2 通过散点图 画出 最贴近 的直线或曲线 即拟合直线或拟合曲线 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上 滴 点 不漏 那么这将是一件十分完美的事情 但在实际应用中 这种情况一般不会发生 因此 使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧 使两侧的点的个数大体相等 得出的拟合直线或拟合曲线就是 最贴近 的了 3 根据所学函数知识 结合已知数据 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 4 利用函数关系式 根据条件对所给问题进行预测和检验 为决策和管理提供依据 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0 5 8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现 人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多 然后向两边递减 1 下列几个模拟函数中y ax2 bx y kx b y logax y ax b x表示人均GDP 单位 千美元 y表示A饮料的年人均销量 单位 升 用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适 说明理由 2 若人均GDP为1千美元时 A饮料的年人均销量为2升 若人均GDP为4千美元时 A饮料的年人均销量为5升 把 1 中你所选的模拟函数求出来 并求出各个地区中 A饮料的年人均销量最多是多少 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 1 用函数y ax2 bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适 因为函数y kx b y logax y ax b在其定义域内都是单调函数 不具备先递增后递减的特征 2 依题意知函数过点 1 2 和 4 5 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因未弄清函数类型而致误典例某林区2018年木材蓄积量为200万立方米 由于采取了封山育林 严禁砍伐等措施 使木材蓄积量的年平均增长率达到5 1 若经过x年后 该林区的木材蓄积量为y万立方米 求y f x 的表达式 并求此函数的定义域 2 求经过多少年后 林区的木材蓄积量能达到300万立方米 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 错解 1 现有木材蓄积量为200万立方米 经过1年后木材蓄积量为200 200 5 200 1 5 经过2年后木材蓄积量为200 1 5 2 经过x年后木材蓄积量为200 1 5 x 所以y f x 200 1 5 x x N 2 设x年后木材蓄积量为300万立方米 故经过10年 木材蓄积量达到300万立方米 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 本例错误的根源是没有弄清平均增长率的含义 直接把函数模型建错了 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 1 现有木材蓄积量为200万立方米 经过1年后木材蓄积量为200 200 5 200 1 5 经过2年后木材蓄积量为200 1 5 200 1 5 5 200 1 5 2 所以经过x年后木材蓄积量为200 1 5 x 所以y f x 200 1 5 x x N 2 由200 1 5 x 300 得 1 5 x 1 5 取值验证可知8 x 9 所以取x 9 即经过9年后 林区的木材蓄积量能达到300万立方米 防范措施对此类问题首先要弄清题目 木材蓄积量年平均增长问题实质上为一指数函数类模型 若初始蓄积量为a 年平均增长率为b 则x年后木材蓄积量y与x的关系为y a 1 b x x N 另外还有储蓄等问题也属于指数型函数模型 因此大家在学习过程中多积累实际素材 每一类实际问题都有其自身的规律特点 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 1 多选 某种商品2018年提价25 2020年要降价 但不能低于原价 则可以降价 A 25 B 20 C 15 D 10