板块三专题突破核心考点 空间角的计算问题 规范答题示例4 典例4 15分 2017 浙江 如图 已知四棱锥P ABCD PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形 BC AD CD AD PC AD 2DC 2CB E为PD的中点 1 证明 CE 平面PAB 2 求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 审题路线图 规范解答 分步得分 方法一 1 证明如图 设PA的中点为F 连接EF FB 因为E F分别为PD PA中点 所以EF BC且EF BC 所以四边形BCEF为平行四边形 所以CE BF 4分因为BF 平面PAB CE 平面PAB 因此CE 平面PAB 6分 2 解分别取BC AD的中点为M N 连接PN交EF于点Q 连接MQ 因为E F N分别是PD PA AD的中点 所以Q为EF的中点 在平行四边形BCEF中 MQ CE 由 PAD为等腰直角三角形得PN AD 由DC AD N是AD的中点得BN AD 又PN BN N PN BN 平面PBN 所以AD 平面PBN 9分由BC AD得BC 平面PBN 又BC 平面PBC 那么平面PBC 平面PBN 过点Q作PB的垂线 垂足为H 连接MH MH是MQ在平面PBC上的投影 所以 QMH是直线CE与平面PBC所成的角 12分 构建答题模板 第一步找平行 通过三角形中位线 找出线线平行进而得到线面平行 第二步找夹角 通过作辅助线及线线 线面及面面之间的关系找到夹角 第三步找关系 由图形找出各线段之间的长度关系 进而求得夹角的正弦值 第四步得结论 得到所求夹角的正弦值 审题路线图 规范解答 分步得分 方法二 1 证明设AD的中点为O 连接OB OP PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形 OP AD 四边形BCDO为平行四边形 又 CD AD OB AD OP OB O OP OB 平面OPB AD 平面OPB 2分过点O在平面POB内作OB的垂线OM 交PB于M 以O为原点 OB所在直线为x轴 OD所在直线为y轴 OM所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图 4分设CD 1 则有A 0 1 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 设P x 0 z z 0 由PC 2 OP 1 设平面PAB的法向量为n x1 y1 z1 又 CE 平面PAB CE 平面PAB 10分 2 解设平面PBC的法向量为m x2 y2 z2 设直线CE与平面PBC所成的角为 构建答题模板 第一步找垂直 找出 或作出 具有公共交点的三条两两垂直的直线 第二步写坐标 建立空间直角坐标系 写出点坐标 第三步求向量 求直线的方向向量或平面的法向量 第四步求夹角 计算向量的夹角 第五步得结论 得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角 评分细则 1 方法一第 1 问中证明CE 平面PAB缺少条件扣1分 第 2 问中证明PN AD和BN AD各给1分 2 方法二中建系给2分 两个法向量求出1个给3分 没有最后结论扣1分 法向量取其他形式同样给分 跟踪演练4 2018 全国 如图 四边形ABCD为正方形 E F分别为AD BC的中点 以DF为折痕把 DFC折起 使点C到达点P的位置 且PF BF 1 证明 平面PEF 平面ABFD 证明 证明由已知可得BF PF BF EF PF EF F PF EF 平面PEF 所以BF 平面PEF 又BF 平面ABFD 所以平面PEF 平面ABFD 2 求DP与平面ABFD所成角的正弦值 解答 解方法一如图 作PH EF 垂足为H 由 1 得 PH 平面ABFD 建立如图所示的空间直角坐标系H xyz 由 1 可得 DE PE 又PF 1 EF 2 所以PE PF 设DP与平面ABFD所成的角为 方法二过点P作PH EF 垂足为H 连接DH 由 1 可得PH 平面ABFD 所以 PDH即为DP与平面ABFD所成的角