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M矩阵的性质、定理及证明一、M矩阵的概念定义1 设,且,称A为M矩阵。定义2 设,且,若为M矩阵,则称A为逆M矩阵。引理1 如果,且,A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解,,其中L为下三角阵,R为上三角阵,L和R的主对角元都是正值。二、M矩阵的判定定理与证明定理1 若为M矩阵,则,其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正,且其余元素为非正值。证明 若A为M阵,则当,;,。由引理1,A可做三角分解。设 , 则,故。因,故;因故;因,故,从而;因,故。类似的有,()。又因有及故相应有,。类似的有,()。假设时有,(),当时,由于,故。又由于,故;类似的可得到,()。证毕。定理2 设,的代数余子式为,如果则为M矩阵的充要条件。证明 必要性:如果为M矩阵,由于,故 。充分性:由于,且,就由定义1知为M矩阵,证毕。定义3 设有n阶矩阵,如果存在正向量X(即它的分量都是正值),使得成立,则称A为拟对角占优。引理2 设,满足,并且矩阵为拟对角占优,则A为M矩阵。定理3 设,如果 则A为M矩阵(其中)。证明 若 对 皆成立,则由定义3 知为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵,为此,只需证明对某个有的情形。不失一般性,不妨设。由,可得用乘以矩阵B的第一列,得新矩阵,则有,再假设,用r乘以矩阵的第二列得到新矩阵,则有,于是为强对角占优,故B为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵。定理4 设,设,若对任意,恒有,则A为M矩阵。证明 令:,由于,故,取做 得,则当时,有,如果,显然有 。当时有 ,于是知为强对角占优矩阵,由定义3知B为拟对角占优矩阵,因此,根据引理2知A为M矩阵。证毕。定理5 如果存在正对角阵D,使AD为拟对角占优阵,则A为拟对角占优阵。证明 因为存在正对角阵D,使为拟对角占优,则存在正对角阵,使为强对角占优。又因仍为正对角阵,故A为拟对角占优阵。证毕。定理6 设,且对任意的有 (1)并且对全体等号成立的,存在非零元素链,使得成立,则A为M矩阵。证明 由于,故。取,做得,则当时,有如果,显然有 。当时,有 ,反之,若对使式(1)成立的,存在非零元素链,使得 成立则由前分析知为具有非零元素链的对角占优矩阵,并且通过文献知道为半强对角占优矩阵。故为拟对角占优矩阵,从而B为拟对角占优矩阵,由引理2知A为M矩阵。证毕。 参考文献1.M-矩阵的特性描述2-非奇异M矩阵J.应用数学与计算机数学,1981(2):48-54.2游兆永.非奇异M矩阵J.武汉:华中工学院研究生讲义1981.3胡玉臣.非奇异M矩阵的快速判定方法及算法J.长安大学学报,2000,10(5):30-31.4同济大学应用数学系高等数学M.北京:高等教育出版社,2002:246-250.5毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳M.武汉:华中科技大学出版社,2001.6钱吉林.高等代数题解精粹M.第二版.北京:中央民族大学出版社,2010:112-224.8华东师范大学数学系.数学分析M.第三版.北京:高等教育出版社,2008:136-139.
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