第八节函数的连续性与间断点 一 函数的连续性二 函数的间断点三 小结思考题 一 函数的连续性 1 函数的增量 可见 函数 在点 1 在点 即 2 极限 3 连续必须具备下列条件 存在 有定义 存在 例1 证 由定义2知 3 单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 对自变量的增量 有函数的增量 左连续 右连续 当 时 有 函数 在点 连续有下列等价命题 4 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 continue 例如 在 上连续 有理整函数 又如 有理分式函数 在其定义域内连续 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 例3 证 补充 设 在x 0处连续 求常数a与b应满足的关系 二 函数的间断点 1 跳跃间断点 例4 解 2 可去间断点 例5 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例5中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 3 第二类间断点 例6 解 例7 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 思考 解 讨论 若有间断点判别其类型 并作出图形 P65 EX4 解 三 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 间断点 见下图 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 思考题 思考题解答 且 但反之不成立 例 但 练习题 练习题答案