第1讲圆与圆锥曲线的基本问题高考定位1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.真 题 感 悟 1.(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选A.答案A2.(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y00)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，5r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.答案B4.(2016山东卷)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.解析由已知得|AB|，|BC|2c，232c，又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以a2得2320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去).答案2考 点 整 合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r.2.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d，弦长公式|AB|2(弦心距d).3.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离).4.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).5.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e；(2)双曲线：e；渐近线方程：yx或yx；(3)抛物线：设y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点.焦半径|CF|x1；过焦点的弦长|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.热点一直线与圆有关问题 微题型1求圆的方程【例11】 (1)(2015全国卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|()A.2 B.8C.4 D.10(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A.(x1)2y24B.(x1)2y24C.x2(y1)24D.x2(y1)24解析(1)由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，选C.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a，0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.故选B.答案(1)C(2)B探究提高求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法，在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.微题型2圆的切线问题【例12】 (1)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C.(62) D.(2)若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_.解析(1)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2xy40相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小(D为切点)，即圆C的直径最小，则|OD|，所以圆的半径为，圆C的面积的最小值为Sr2.(2)依题意得OO1A是直角三角形，|OO1|5，SOO1A|OO1|OA|AO1|，因此|AB|4.答案(1)A(2)4探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.微题型3直线与圆的位置关系【例13】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB的中点M的坐标点(x，y)，当线段AB不在x轴上时，有C1MAB，则kC1MkAB1，即1，整理得y2，又当直线l与圆C1相切时，易求得切点的横坐标为.所以此时M的轨迹C的方程为y2.当线段AB在x轴上时，点M的坐标为(3，0)，也满足式子y2.综上，线段AB的中点M的轨迹C的方程为y2.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心，r为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E，F.又直线L：yk(x4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，由，得k，又kDEkDF，结合如图可知当k时，直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点.探究提高此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画成轨迹C时，若把端点E，F画出实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.【训练1】 (2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6，7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又BCOA2.由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P、Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的范围为22，22.热点二圆锥曲线的定义、方程、性质的应用微题型1定义与标准方程的应用【例21】 (1)(2015浙江卷)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.(2)已知双曲线C1：1(a0，b0)的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A.x2y B.x2yC.x28y D.x216y解析(1)由图形知，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故选A.(2)2c4a，c2a，又a2b2c2，ba，渐近线yx，抛物线焦点，d2，p8，抛物线方程为x216y.答案(1)A(2)D探究提高(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.微题型2几何性质与标准方程的应用【例22】 (1)已知椭圆1(ab0)短轴的两个端点为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.(2)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.解析(1)设C(x0，y0)，则1，故xa2，所以kACkBC.故a24b2，所以e.(也可使用特殊点法)(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p x，x，y，A.