1999 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 文史类文史类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 8 页 共 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷第 卷 选择题共选择题共 60 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 14 小题 第小题 第 1 10 题每小题题每小题 4 分 第分 第 11 14 题每小题题每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1 如图 是全集 M P S 是 的 3 个子集 则阴影部分所 表示的集合是 A M P S B M P S C M P S D M P S 2 已知映射 f A B 其中 集合 A 3 2 1 1 2 3 4 集合 B 中的元 素都是 A 中元素在映射 f 下的象 且对任意的 a A 在 B 中和它对应的元素是 a 则集合 B 中元素的个数是 A 4 B 5 C 6 D 7 3 若函数 y f x 的反函数是 y g x f a b ab 0 则 g b 等于 A a B a 1 C b D b 1 4 函数 f x Msin x 0 在区间 a b 上是增函数 且 f a M f b M 则函 数 g x Mcos x 在 a b 上 A 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值 M D 可以取得最小值 M 5 若 f x sinx 是周期为 的奇函数 则 f x 可以是 A sinx B cosx C sin2x D cos2x 6 曲线 x2 y2 22x 22y 0 关于 A 直线 x 2轴对称 B 直线 y x 轴对称 C 点 2 2 中心对称 D 点 2 0 中心对称 7 若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中 量得水面的高度为 6cm 若将这 些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中 则水面的高度是 A 63cm B 6cm C 2 3 18cm D 3 3 12cm 8 若 2x 3 3 a0 a1x a2x2 a3x3 则 a0 a2 2 a1 a3 2的值为 A 1 B 1 C 0 D 2 9 直线3x y 23 0 截圆 x2 y2 4 得的劣弧所对的圆心角为 A 6 B 4 C 3 D 2 10 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形 EF AB EF 2 3 EF 与面 AC 的距离为 2 则该多面体的体积为 A 2 9 B 5 C 6 D 2 15 11 若 sina tga ctga 2 ab 0 的右焦点为 F1 右准线为 l1若过 F1且垂直于 x 轴的弦 的长等于点 F1到 l1的距离 则椭圆的离心率是 奎屯 王新敞 新疆 16 在一块并排 10 垄的田地中 选择 2 垄分别种植 A B 两种作物 每种作物种植一垄 为有利于作物生长 要求 A B 两种作物的间隔不小于 6 垄 则不同的选垄方法共有 种 用数字作答 奎屯 王新敞 新疆 17 若正数 a b 满足 ab a b 3 则 ab 的取值范围是 奎屯 王新敞 新疆 18 是两个不同的平面 m n 是平面 及 之外的两条不同直线 给出四个论 断 m n n m 以其中三个论断作为条件 余下一个论断作为结论 写出你认为正确一个命题 奎屯 王新敞 新疆 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 19 本小题满分 10 分 解方程231 gx 31gx 4 0 20 本小题满分 12 分 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 已知 an 5Sn 3 n N 求 n lim a1 a3 a2n 1 的值 21 本小题满分 12 分 设复数 z 3cos isin 求函数 y tg argz 0 0 a 1 和直线 l x 1 B 是直线 l 上的动点 BOA 的角平分线交 AB 于点 C 求点 C 的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系 1999 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题 文史类 参考解答及评分标准 B C D E A A B C D 1 1 1 1 说明 说明 一 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如 果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则 二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 第第 1 10 题每小题题每小题 4 分 第分 第 11 14 题每题每 小题小题 5 分分 满分满分 60 分分 1 C 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 B 8 A 9 C 10 D 11 B 12 D 13 D 14 C 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题每小题 4 分 满分分 满分 16 分分 15 2 1 16 12 17 9 18 m n m n 或 m n m n 三 解答题三 解答题 19 本小题主要考查对数方程 无理方程的解法和运算能力 满分 10 分 解 设yx 2lg3 原方程化为 y y2 2 0 4 分 解得 y 1 y 2 6 分 因为 02lg3 x 所以将 y 1 舍去 由2lg3 x 2 得 lgx 2 所以 x 100 9 分 经检验 x 100 为原方程的解 10 分 20 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识 满分 12 分 解 由 Sn a1 a2 an知 an Sn Sn 1 n 2 a1 S1 2 分 由已知 an 5Sn 3 得 an 1 5Sn 1 3 4 分 于是 an an 1 5 Sn Sn 1 5an 所以 an 4 1 an 1 6 分 由 a1 5S1 3 得 a1 4 3 所以 数列 an 是首项 a1 4 3 公比 q 4 1 的等比数列 8 分 由此知数列 a1 a3 a5 a2n 1 是首项为 a1 4 3 公比为 2 4 1 的等比数列 n lim a1 a3 a5 a2n 1 5 4 4 1 1 4 3 2 12 分 21 本小题主要考查复数的基本概念 三角公式和不等式等基础知识 考查综合运用 所学数学知识解决问题的能力 满分 12 分 解 由 2 0 得0tg 由 z 3cos isin 得 tg argz tg 3 1 cos3 sin 3 分 故 y tg argz 2 tg 3 1 1 tg 3 1 tg 6 分 tg tg 3 2 32tg tg 3 3 3 tg tg 3 2 9 分 当且仅当 tg 3 tg 2 0 时 即 tg 3时 上式取等号 所以当 3 时 函数 y 取得最大值 3 3 12 分 22 本小题主要考查空间线面关系 二面角和距离的概念 逻辑思维能力 空间想象能力及运算能力 满分 12 分 解 如图 连结 DB 交 AC 于 O 连结 EO 底面 ABCD 是正方形 DO AC 又 ED 底面 AC EO AC EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角 2 分 EOD 45 DO 2 2 a AC 2a EO 2 2 a sec45 a 故 S EAC 2 2 a 2 4 分 解 由题设 ABCD A1B1C1D1是正四棱柱 得 A1A 底面 AC A1A AC 又 A1A A1B1 A1A 是异面直线 A1B1与 AC 间的公垂线 6 分 D1B 面 EAC 且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO D1B EO 又 O 是 DB 的中点 E 是 D1D 的中点 D1B 2EO 2a D1D 22 1 DBBD 2a 异面直线 A1B1与 AC 间的距离为2a 8 分 解法一 如图 连结 D1B1 D1D DB 2a BDD1B1是正方形 连结 B1D 交 D1B 于 P 交 EO 于 Q B1D D1B EO D1B B1D EO 又 AC EO AC ED AC 面 BDD1B1 B1D AC B1D 面 EAC B1Q 是三棱锥 B1 EAC 的高 10 分 由 DQ PQ 得 B1Q 4 3 B1D 2 3 a 4 2 2 3 2 2 3 1 32 1 aaaV EACB 所以三棱锥 B1 EAC 的体积是 3 4 2 a 12 分 解法二 连结 B1O 则 EACB V 1 2 1 EOBA V 10 分 AO 面 BDD1B1 AO 是三棱锥 A EOB1的高 AO 2 2 a 在正方形 BDD1B1中 E O 分别是 D1D DB 的中点 如 右图 则 2 4 3 1 aS EOB 32 4 2 2 2 4 3 3 1 2 1 aaaV EACB 所以三棱锥 B1 EAC 的体积是 3 4 2 a 12 分 23 本小题主要考查等比数列 对数计算等基本知识 考查综合运用数学知识和方法 解决实际问题的能力 满分 14 分 解 厚度为 的带钢经过减薄率均为 r0的 n 对轧辊后厚度为 1 r0 n 为使输出带钢的厚度不超过 冷轧机的轧辊数 以对为单位 应满足 1 r0 n 即 1 r0 n 4 分 由于 1 r0 n 0 0 对上式两端取对数 得 nlg 1 r0 lg 由于 lg 1 r0 0 所以 n 0 1lg lglg r 因此 至少需要安装不小于 0 1lg lglg r 的整数对轧辊 7 分 解法一 第 k 对轧辊出口外疵点间距离为轧辊周长 在此处出口的两疵点间带钢的 体积为 1600 1 r k 宽度 其中 r 20 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 Lk 1 r 4 宽度 因宽度相等 且无损耗 由体积相等得 1600 1 r k Lk 1 r 4 r 20 即 Lk 1600 0 8k 4 10 分 由此得 L3 2000 mm L2 2500 mm L1 3125 mm 填表如下 轧辊序号 k 1 2 3 4 疵点间距 Lk mm 3125 2500 2000 1600 解法二 第 3 对轧辊出口疵点间距为轧辊周长 在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧 机出口处两疵点间带钢体积相等 因宽度不变 有 1600 L3 1 0 2 所以 L3 8 0 1600 2000 mm 10 分 同理 L2 8 0 3 L 2500 mm L1 8 0 2 L 3125 mm 填表如下 轧辊序号 k 1 2 3 4 疵点间距 Lk mm 3125 2500 2000 1600 14 分 24 本小题主要考查曲线与方程 直线和圆锥曲线等基础知识 以及求动点轨迹的基 本技能和综合运用数学知识解决问题的能力 满分 14 分 解法一 依题意 记 B 1 b b R 则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y 0 和 y bx 设 点 C x y 则有 0 x a 由 OC 平分 AOB 知点 C 到 OA OB 距离相等 根据点到直线 的距离公式得 2 1b bxy y 4 分 依题设 点 C 在直线 AB 上 故有 ax a b y 1 6 分 由 x a 0 得 ax ya b 1 将 式代入 代得 2 2 2 2 2 11 1 ax xya y ax ya y 整理得 y2 1 a x2 2ax 1 a y2 0 9 分 若 y 0 则 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 若 y 0 则 b 0 AOB 点 C 的坐标为 0 0