1998 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试 120 分钟 第 卷第 卷 选择题共选择题共 65 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 15 小题 第小题 第 1 10 题每小题题每小题 4 分 第分 第 11 15 题每小题题每小题 5 分 共分 共 65 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1 sin600 的值是 A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 2 函数 y a x a 1 的图像是 3 曲线的极坐标方程 4sin 化成直角坐标方程为 A x2 y 2 2 4 B x2 y 2 2 4 C x 2 2 y2 4 D x 2 2 y2 4 4 两条直线 A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0 垂直的充要条件是 A A1A2 B1B2 0 B A1A2 B1B2 0 C 1 21 21 BB AA D 1 21 21 AA BB 5 函数 f x x 1 x 0 的反函数 f 1 x A B C D 1 1 1 A x x 0 B x 1 x 0 C x x 0 D x 1 x 0 6 已知点 P sin cos tg 在第一象限 则在 20 内 的取值是 A 4 3 2 4 5 B 24 4 5 C 4 3 2 2 3 4 5 D 24 4 3 7 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍 那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A 120 B 150 C 180 D 240 8 复数 i 的一个立方根是 i 它的另外两个立方根是 A 2 1 2 3 i B 2 1 2 3 i C 2 1 2 3 i D 2 1 2 3 i 9 如果棱台的两底面积分别是 S S 中截面的面积是 S0 那 么 A 2SSS 0 B S0 S S C 2 S0 S S D SSS 2 2 0 10 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如 下图所示 那么水瓶的形状是 h V H 0 11 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检 每校分配 1 名医生和 2 名护 士 不同的分配方法共有 A 90 种 B 180 种 C 270 种 D 540 种 12 椭圆 312 22 yx 1 的焦点为 F1和 F2 点 P 在椭圆上 如果线段 PF1的中点在 y 轴 上 那么 P F1 是 P F2 的 A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍 13 球面上有 3 个点 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 6 1 经过这 3 个点 的小圆的周长为 4 那么这个球的半径为 A 43 B 23 C 2 D 3 14 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列 其最小内角为 A arccos 2 15 B arcsin 2 15 C arccos 2 51 D arcsin 2 51 15 在等比数列 an 中 a1 1 且前 n 项和 Sn满足 n limSn 1 1 a 那么 a1的取值范围是 A 1 B 1 4 C 1 2 D 1 2 第 卷第 卷 非选择题共非选择题共 85 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 16 设圆过双曲线1 169 22 yx 的一个顶点和一个焦点 圆心在此双曲线上 则圆心到 双曲线中心的距离是 奎屯 王新敞 新疆 17 x 2 10 x2 1 的展开式中 x10的系数为 用数字 作答 奎屯 王新敞 新疆 18 如图 在直四棱柱 A1B1C1 D1 ABCD 中 当底面四边形 ABCD 满足条件 时 有 A1 C B1 D1 注 填上你认为正确的一 种条件即可 不必考虑所有可能的情形 奎屯 王新敞 新疆 19 关于函数 f x 4sin 2x 3 x R 有下列命题 由 f x1 f x2 0 可得 x1 x2必是 的整数倍 y f x 的表达式可改写为 y 4cos 2x 6 y f x 的图像关于点 6 0 对称 y f x 的图像关于直线 x 6 对称 其中正确的命题的序号是 奎屯 王新敞 新疆 注 把你认为正确的命题的序号都 填上 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 6969 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 20 本小题满分 10 分 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 设 a c 2b A C 3 求 sinB 的 值 以下公式供解题时参考 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 21 本小题满分 11 分 如图 直线 l1和 l2相交于点 M l1 l2 点 N l1 以 A B 为端点的曲线段 C 上的任 一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等 若 AMN 为锐角三角形 AM 17 AN 3 且 BN 6 建立适当的坐标系 求曲线段 C 的方程 22 本小题满分 12 分 如图 为处理含有某种杂质的污水 要制造一底宽为 2 米 的无盖长方体沉淀箱 污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设 箱体的长度为 a 米 高度为 b 米 已知流出的水中该杂质的质 量分数与 a b 的乘积 ab 成反比 现有制箱材料 60 平方米 问 当 a b 各为多少米时 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小 A B 孔的面积忽略不计 23 本小题满分 12 分 已知斜三棱柱 ABC A1 B1 C1的侧面 A1 ACC1与底面 ABC 垂直 ABC 90 BC 2 AC 23 且 AA1 A1C AA1 A1 C 求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小 求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小 求顶点 C 到侧面 A1 ABB1的距离 24 本小题满分 12 分 设曲线 C 的方程是 y x3 x 将 C 沿 x 轴 y 轴正向分别平行移动 t s 单位长度后得曲 线 C1 写出曲线 C1的方程 证明曲线 C 与 C1关于点 A 3 t 2 s 对称 如果曲线 C 与 C1有且仅有一个公共点 证明 s 4 3 t t 且 t 0 25 本小题满分 12 分 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 145 求数列 bn 的通项 bn 设数列 an 的通项 an loga 1 n b 1 其中 a 0 且 a 1 记 Sn是数列 an 的前 n 项和 试比较 Sn与 3 1 logabn 1的大小 并证明你的结论 1998 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题 理工农医类 参考答案数学试题 理工农医类 参考答案 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 1 D 2 B 3 B 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B 11 D 12 A 13 B 14 B 15 D 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 16 3 16 17 179 18 AC BD 或任何能推导出这个条件的其他条件 例如 ABCD 是正方形 菱形等 19 三 解答题三 解答题 20 本小题考查正弦定理 同角三角函数基本公式 诱导公式等基础知识 考查利用三 角公式进行恒等变形的技能及运算能力 解 由正弦定理和已知条件 a c 2b 得 sinA sinC 2sinB 由和差化积公式得 2sin 2 CA cos 2 CA 2sinB 由 A B C 得 sin 2 CA cos 2 B 又 A C 3 得 2 3 cos 2 B sinB 所以 2 3 cos 2 B 2sin 2 B cos 2 B 因为 0 2 B 0 xA x xB y 0 其中 xA xB分别为 A B 的横坐标 p MN 所以 M 2 p 0 N 2 p 0 由 AM 17 AN 3 得 xA 2 p 2 2pxA 17 xA 2 p 2 2pxA 9 由 两式联立解得 xA p 4 再将其代入 式并由 p 0 解得 2 2 1 4 AA x p x p 或 因为 AMN 是锐角三角形 所以 2 p xA 故舍去 2 2 A x p 所以 p 4 xA 1 由点 B 在曲线段 C 上 得 xB BN 2 p 4 综上得曲线段 C 的方程为 y2 8x 1 x 4 y 0 解法二 如图建立坐标系 分别以 l1 l2为 x y 轴 M 为坐标原点 作 AE l1 AD l2 BF l2 垂足分别为 E D F 设 A xA yA B xB yB N xN 0 依题意有 xA ME DA AN 3 yA DM 22 22 DAAM 由于 AMN 为锐角三角形 故有 xN ME EN ME 22 AEAN 4 xB BF BN 6 设点 P x y 是曲线段 C 上任一点 则由题意知 P 属于集合 x y x xN 2 y2 x2 xA x xB y 0 故曲线段 C 的方程为 y2 8 x 2 3 x 6 y 0 22 本小题主要考查综合应用所学数学知识 思想和方法解决实际问题的能力 考查建 立函数关系 不等式性质 最大值 最小值等基础知识 解法一 设 y 为流出的水中杂质的质量分数 则 y ab k 其中 k 0 为比例系数 依题意 即所求的 a b 值使 y 值最小 根据题设 有 4b 2ab 2a 60 a 0 b 0 得 b a a 2 30 0 a0 b 0 即 a 2b ab 30 a 0 b 0 因为 a 2b 2ab2 所以 ab22 ab 30 当且仅当 a 2b 时 上式取等号 由 a 0 b 0 解得 0 3 113 取 n 2 有 1 1 1 4 1 3 123 由此推测 1 1 1 4 1 1 23 1 n 313 n 若 式成立 则由对数函数性质可断定 当 a 1 时 Sn 3 1 loga bn 1 当 0 a 1 时 Sn313 k 那么 当 n k 1 时 1 1 1 4 1 1 23 1 k 1 213 1 k 313 k 1 13 1 k 13 13 3 k k 3k 2 因为 3 3 3 3 4323 13 13 kk k k 2 23 13 134323 k kkk 0 13 49 2 k k 所以 13 13 3 k k 3k 2 11343 3 3 kk 因而 1 1 1 4 1 1 23 1 k 1 13 1 k 113 3 k 这就是说 式当 n k 1 时也成立 由 知 式对任何正整数 n 都成立 由此证得 当 a 1 时 Sn 3 1 loga bn 1 当 0 a 1 时 Sn 3 1 loga bn 1