第 1 页 共 13 页 期中数学试卷 文科 期中数学试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 下列说法正确的是 A 类比推理 归纳推理 演绎推理都是合情推理 B 合情推理得到的结论一定是正确的 C 合情推理得到的结论不一定正确 D 归纳推理得到的结论一定是正确的 2 下列求导数运算正确的是 A x 1 B C x2cosx 2xsinxD 2sin2x 2cos2x 3 下列结构图中要素之间表示从属关系的是 A B C D 4 若函数 f x sinx kx 存在极值 则实数 k 的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 D 1 5 甲 乙 丙 丁四个孩子踢球打碎了玻璃 甲说 是丙或丁打碎的 乙说 是 丁打碎的 丙说 我没有打碎玻璃 丁说 不是我打碎的 他们中只有一人 说了谎 请问是 打碎了玻璃 A 甲B 乙C 丙D 丁 6 用反证法证明命题 若直线 AB CD 是异面直线 则直线 AC BD 也是异面直 线 的过程归纳为以下三个步骤 则 A B C D 四点共面 所以 AB CD 共面 这与 AB CD 是异面直线矛盾 所以假设错误 即直线 AC BD 也是异面直线 假设直线 AC BD 是共面直线 则正确的序号顺序为 A B C D 7 过点 0 1 且与曲线 y 在点 3 2 处的切线垂直的直线的方程为 A 2x y 1 0B 2x y 1 0C x 2y 2 0D x 2y 2 0 8 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn n2 an n 2 而 a1 1 通过计算 a2 a3 a4 猜想 an等于 第 2 页 共 13 页 A B C D 9 已知函数 y x3 3x a 在 0 2 上有两个零点 则常数 a 的取值范围为 A 0 a 2B 2 a 2C 2 a 2D 0 a 2 10 若执行如图所示的程序框图 输出 S 的值为 3 则判断 框中应填入的条件是 A k 6 B k 7 C k 8 D k 9 11 若函数 f x x2 x 1 在区间 3 上单调递减 则实数 a 的取值范围为 A B C D 2 12 已知函数 f x 为 R 上的可导函数 其导函数为 f x 且满足 f x f x 1 恒成立 f 0 2019 则不等式 f x 2018e x 1 的解集为 A 0 B 0 C e D e 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 若复数 1 i a i 在复平面内对应的点在第二象限 则实数 a 的取值范围为 14 观察下列等式 13 1 13 23 9 13 23 33 36 13 23 33 43 100 猜想 13 23 33 43 n3 n N 15 执行如图所示的程序框图 则输出的 k 值为 第 3 页 共 13 页 16 若函数 f x f 1 ex 1 f 0 x x2 则 f 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 设 z a bi a b R b 0 且 z 是实数 且 1 2 1 求 z 的值及 z 的实部的取值范围 2 设 u 求证 u 为纯虚数 18 某校高三课外兴趣小组为了了解高三同学高考结束后是否打算观看 2018 年足球世 界杯比赛的情况 从全校高三年级 1500 名男生 1000 名女生中按分层抽样的方式 抽取 125 名学生进行问卷调查 情况如表 打算观看 不打算观看 女生 20b 男生 c25 1 求出表中数据 b c 2 判断是否有 99 的把握认为观看 2018 年足球世界杯比赛与性别有关 3 在打算观看 2018 年足球世界杯比赛的同学中有 5 名男生 2 名女生来自高三 5 班 从中推选 5 人接受校园电视台采访 请根据上述方法 求被推选出的 5 人中恰有四名男生 一名女生的概率 附 P K2 k0 0 10 0 05 0 025 0 01 0 005 K02 706 3 841 5 024 6 635 7 879 K2 其中 n a b c d 19 某中学组织高二年级开展对某品牌西瓜市场调研活动 两名同学经过了解得知此品 牌西瓜 不仅便宜而且口味还不错 并且每日的销售量 y 单位 千克 与销售价 第 4 页 共 13 页 格 x 元 千克 满足关系式 y 10 x 6 2 其中 3 x 6 a 为常数 已知销 售价格为 5 元 千克时 每日可售出此品牌西瓜 11 千克 若此品牌西瓜的成本为 3 元 千克 试确定销售价格 x 的值 使该商场日销售此品牌西瓜所获得的利润最大 20 己知函数 f x ex x2 a x R 曲线 y f x 的图象在点 0 f 0 处的切线 方程为 y bx I 求函数 f x 的解析式 当 x R 时 求证 f x x2 x 若 f x kx 对任意的 x 0 恒成立 求实数 k 的取值范围 21 一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关 现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如表 温度 x 212324272932 产卵数 y 个61120275777 经计算得 线性回归模型的残差平方和 e8 0605 3167 其中 xi yi分别为观测数据中的温度和产卵 数 i 1 2 3 4 5 6 若用线性回归模型 求 y 关于 x 的回归方程 x 精确到 0 1 若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 0 06e0 2303x 且相关指数 R2 0 9522 i 试与 中的回归模型相比 用 R2说明哪种模型的拟合效果更好 ii 用拟合效果好的模型预测温度为 35 时该种药用昆虫的产卵数 结果取整数 附 一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 其回归直线 x 的斜 第 5 页 共 13 页 率和截距的最小二乘估计为 相关指数 R2 22 已知函数 其中 a R 求 f x 的单调区间 若在 1 e 上存在 x0 使得 f x0 0 成立 求 a 的取值范围 第 6 页 共 13 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 合情推理包含归纳推理和类推理 所谓归纳推理 就是从个别性知识推出 一般性结论的推理 其得出的结论不一定正确 故选 C 根据演绎推理和合情推理的定义判断即可 本题主要考查推理的含义与作用 所谓归纳推理 就是从个别性知识推出一般性结论的 推理 演绎推理可以从一般到一般 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同 从而推出它们的其他属性也相同的推理 2 答案 B 解析 解 x2cosx 2xcosx x2sinx 2sin2x 4cos2x 故选 B 根据基本初等函数 积的导数 商的导数和复合函数的导数的求导公式对每个选项函数 求导即可 本题考查了基本初等函数 积的导数 商的导数和复合函数的导数的求导公式 考查了 计算能力 属于基础题 3 答案 C 解析 解 分析四个答案中的要素之间关系 A B D 均为逻辑关系 只有 C 是从属关系 故选 C 本题考查的知识点是结构图 由于结构图反映的要素之间关系有 从属关系和逻辑关系 我们逐一判断四个答案中结构图中要素之间的关系 即可得到答案 分析要素之间关系要建立在对模块知识熟练掌握的基础之上 4 答案 A 解析 解 函数 f x sinx kx f x cosx k 当 k 1 时 f x 0 f x 是定义域上的减函数 无极值 当 k 1 时 f x 0 f x 是定义域上的增函数 无极值 当 1 k 1 时 令 f x 0 得 cosx k 从而确定 x 的值 使 f x 在定义域内存在 极值 实数 k 的取值范围是 1 1 故选 A 求 f x 的导函数 利用导数为 0 时左右符号不同的规律 求出 k 的取值范围 本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题 也考查了一定的计算能力 是中档题 5 答案 D 解析 分析 本题考查了简单的合情推理及阅读理解能力 属简单题 先进行阅读理解 然后逐一分打碎玻璃的人是甲 乙 丙 丁进行检验即可 解答 第 7 页 共 13 页 解 若打碎玻璃的人是甲 由已知可得 则说谎的有甲 乙共 2 人 与已知不符 故 错误 若打碎玻璃的人是乙 由已知可得 则说谎的有甲 乙共 2 人 与已知不符 故错误 若打碎玻璃的人是丙 由已知可得 则说谎的有乙 丙共 2 人 与已知不符 故错误 若打碎玻璃的人是丁 由已知可得 则说谎的有丁共 1 人 与已知相符 故正确 故选 D 6 答案 B 解析 分析 本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤 属于中档题 根据用反证法证明数学命题的方法和步骤 可得结论 解答 解 用反证法证明命题 若直线 AB CD 是异面直线 则直线 AC BD 也是异面直 线 的过程 假设直线 AC BD 是共面直线 则 A B C D 四点共面 所以 AB CD 共面 这与 AB CD 是异面直线矛盾 故所以假设错误 即直线 AC BD 也是异面直线 故选 B 7 答案 A 解析 解 由 y 得到 y 把 x 3 代入 y 得 y x 3 则所求直线方程的斜率为 2 又所求直线过 0 1 所求直线额方程为 y 1 2x 即 2x y 1 0 故选 A 根据求导法则求出函数的导函数 然后把 x 3 代入导函数求出切线方程的斜率 然后根 据两直线垂直时斜率的关系求出所求直线的斜率 由已知点的坐标和求出的斜率写出所 求直线的方程即可 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率 掌握两直线垂直时斜率满足 的关系 是一道基础题 8 答案 B 解析 解 1 Sn n2an an 1 Sn 1 Sn n 1 2an 1 n2an an 1 an a2 a3 猜测 an 故选 B 利用数列 an 的前 n 项和 Sn n2an n 2 a1 1 代入即可计算 a2 a3 从而可以猜想 an 本题以数列为载体 考查归纳推理 解题的关键是根据条件 求出前几项 并发现其规 第 8 页 共 13 页 律 9 答案 A 解析 解 令 f x x3 3x a x 0 2 则 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令 f x 0 解得 x 1 列表如下 x 0 1 1 1 2 f x 0 f x 单调递增 极大值 单调递减 由表格可知 当 x 1 时 函数 f x 取得极大值即最大值 f 1 2 a 又 f 0 a f 2 2 a 最小值为 2 a 当 a 0 时 f 1 0 f 0 0 f 2 2 因此函数 f x 最多有一个零点 当 a 2 时 f 1 0 因此函数 f x 无零点 当 0 a 2 时 f 1 0 f 0 0 f 2 0 因此函数 f x 有两个零点 满足 条件 综上可得 只有当 0 a 2 时 函数 f x 有两个零点 故选 A 通过对 a 分类讨论 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值 考查了分类讨论的思想方法 考查 了推理能力和计算能力 属于难题 10 答案 C 解析 分析 本题考查程序框图 尤其考查循环结构 对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规 律 属于基础题 根据程序框图 写出运行结果 根据程序输出的结果是 S 3 可得判断框内应填入的条 件 解答 解 根据程序框图 运行结果如下 第一次循环 S log23 k 3 第二次循环 S log23 log34 k 4 第三次循环 S log23 log34 log45 k 5 第四次循环 S log23 log34 log45 log56 k 6 第五次循环 S log23 log34 log45 log56 log67 k 7 第六次循环 S log23 log34 log45 log56 log67 log78 log28 3 k 8 故如果输出 S 3 那么只能进行六次循环 故判断框内应填入的条件是 k 8 故选 C 11 答案 C 解析 解 函数 f x x2 x 1 f x x2 ax 1 若函数 f x 在区间 3 上递减 第 9 页 共 13 页 故 x2 ax 1