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2012年长沙中考数学试卷解析一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的1.3相反数是()AB3CD32下列平面图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()ABCD3甲、乙两学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,且所中环数的平均数也相同,但甲的成绩比乙的成绩稳定,那么两者的方差的大小关系是()ABC=D不能确定4一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示,则下列符合条件的不等式组为()ABCD5下列四边形中,两条对角线一定不相等的是()A正方形B矩形C等腰梯形D直角梯形6下列四个角中,最有可能与70角互补的是()ABCD7小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是()ABCD8已知:菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OEDC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为()A6cmB4cmC3cmD2cm9某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R()成反比例图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()ABCD10现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是()A1个B2个C3个D4个二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分)11已知函数关系式:y=,则自变量x的取值范围是x112如图,在ABC中,A=45,B=60,则外角ACD=105度13若实数a、b满足|3a1|+b2=0,则ab的值为114如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围是m015任意抛掷一枚硬币,则“正面朝上”是随机事件16在半径为1cm的圆中,圆心角为120的扇形的弧长是cm17如图,ABCDEF,那么BAC+ACE+CEF=360度18如图,等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=AD=2,B=60,则BC的长为4三、解答题:(本题共2个小题,每小题6分,共12分)19计算:20先化简,再求值:,其中a=2,b=1四解答题:(本题共2个小题,每小题8分,共16分)21某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析,绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图,请你根据图表提供的信息,解答下列问题:分组49.559.559.569.569.579.579.589.589.5100.5合计频数2a2016450频率0.040.160.400.32b1(1)频数、频率统计表中,a=8;b=0.08;(2)请将频数分布直方图补充完整;(3)小华在班上任选一名同学,该同学成绩不低于80分的概率是多少?22如图,A,P,B,C是半径为8的O上的四点,且满足BAC=APC=60,(1)求证:ABC是等边三角形;(2)求圆心O到BC的距离OD五、解答题(本题共2个小题,每小题9分,共18分)23以“开放崛起,绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕,作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个,其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个(1)求湖南省签订的境外,省外境内的投资合作项目分别有多少个?(2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,求在这次“中博会”中,东道湖南省共引进资金多少亿元?24如图,已知正方形ABCD中,BE平分DBC且交CD边于点E,将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置,并延长BE交DF于点G(1)求证:BDGDEG;(2)若EGBG=4,求BE的长六、解答题(本题共2个小题,每小题10分,共20分)25在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20元经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:(年获利=年销售收入生产成本投资成本)(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围26如图半径分别为m,n(0mn)的两圆O1和O2相交于P,Q两点,且点P(4,1),两圆同时与两坐标轴相切,O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,O2与x轴,y轴分别切于点R,点H(1)求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式;(2)求两圆的圆心O1,O2之间的距离d;(3)令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2试探究:是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为的抛物线?若存在,请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由解答:解:(1)由题意可知O1(m,m),O2(n,n),设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有:(0mn),解得,所求直线的解析式为:y=x(2)由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称P(4,1),直线O1O2解析式为y=x,Q(1,4)如解答图1,连接O1QQ(1,4),O1(m,m),根据两点间距离公式得到:O1Q=又O1Q为小圆半径,即QO1=m,=m,化简得:m210m+17=0 如解答图1,连接O2Q,同理可得:n210n+17=0 由,式可知,m、n是一元二次方程x210x+17=0 的两个根,解得:x=5,0mn,m=5,n=5+O1(m,m),O2(n,n),d=O1O2=8(3)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a0如解答图2,连接PQ由相交两圆性质可知,PQO1O2P(4,1),Q(1,4),PQ=,又O1O2=8,S1=PQO1O2=8=;又S2=(O2R+O1M)MR=(n+m)(nm)=;=1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1抛物线过点P(4,1),Q(1,4),解得,抛物线解析式为:y=ax2(5a+1)x+5+4a,令y=0,则有:ax2(5a+1)x+5+4a=0,设两根为x1,x2,则有:x1+x2=,x1x2=,在x轴上截得的线段长为1,即|x1x2|=1,(x1x2)2=1,(x1+x2)24x1x2=1,即()24()=1,化简得:8a210a+1=0,解得a=,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a0)矛盾,不存在这样的抛物线解答:解:3相反数是3故选D解答:解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误故选A解答:解:根据方差的意义知,射击成绩比较稳定,则方差较小,甲的成绩比乙的成绩稳定,有:S甲2S乙2故选A解答:解:由图示可看出,从1出发向右画出的折线且表示1的点是实心圆,表示x1;从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆,表示x2,所以这个不等式组的解集为1x2,即:故选:C解答:解:根据正方形、矩形、等腰梯形的性质,它们的两条对角线一定相等,只有直角梯形的对角线一定不相等故选D解答:解:70角的补角=18070=110,是钝角,结合各选项,只有D选项是钝角,所以,最有可能与70角互补的是D选项的角故选D解答:解:小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线,修车时自行车没有运动,所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线,修车后为了赶时间,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,此时的路程、时间图象仍是一条斜线,只是斜线的倾角变大因此选项A、B、D都不符合要求故选C解答:解:四边形ABCD是菱形,OB=OD,CD=AD=6cm,OEDC,BE=CE,OE=CD=3cm故选C解答:解:设I=,那么点(3,2)适合这个函数解析式,则k=32=6,I=故选C解答:解:四条木棒的所有组合:3,4,7和3,4,9和3,7,9和4,7,9;只有3,7,9和4,7,9能组成三角形故选B解答:解:根据题意得,x10,解得x1故答案为:x1解答:解:A=45,B=60,ACD=A+B=45+60=105故答案为:105解答:解:根据题意得,3a1=0,b=0,解得a=,b=0,ab=()0=1故答案为:1解答:解:一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限,m0故答案为:m0解答:解:抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上,也可能反面朝上,故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件故答案为:随机解答:解:扇形的弧长L=cm故答案为:cm解答:解:ABCD,BAC+ACD=180,CDEF,CEF+ECD=180,+得,BAC+ACD+CEF+ECD=180+180=360,即BAC+ACE+CEF=360解答:解:过点A作AECD交BC于点E,ADBC,四边形AEC
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