2019届陕西省咸阳市高三模拟检测（一）数学（文）试题一、单选题1复数A B C D【答案】C【解析】根据复数乘法运算，进行计算和化简，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查，属于基础题.2已知集合，则A B C D【答案】D【解析】解指数不等式求得集合的范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合A，由解得，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查指数不等式的解法，属于基础题.3设等差数列的前项和为，若，则A20 B23 C24 D28【答案】D【解析】将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.4若向量，满足，且，则与的夹角为A B C D【答案】A【解析】根据，利用两个向量数量积为零列方程，解方程求得与两个向量的夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】由于，故，解得，所以与两个向量的夹角为，故选A.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直则数量积为零，考查向量数量积的运算，考查向量夹角的计算，属于基础题.如果两个向量垂直，那么它们的数量积.如果两个非零向量平行，则存在非零实数，使得.要计算两个向量所成的夹角，则先计算出两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.5某校高三（1）班50名学生参加体能测试，其中23人成绩为，其余人成绩都是或.从这50名学生中任抽1人，若抽得的概率是0.4，则抽得的概率是A0.14 B0.20 C0.40 D0.60【答案】A【解析】用减去抽到A或B的概率，由此求得抽到C的概率.【详解】由于A为人，故抽到C的概率为.【点睛】本小题主要考查概率之和为，考查互斥事件概率计算，属于基础题.6已知函数（，）的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心是A B C D【答案】B【解析】根据图像所给位置，结合对称性，求得对称零点为，由此得出正确选项.【详解】设关于直线的对称点是，则，解得，故函数的一个对称中心为，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的图像的对称性，考查三角函数的对称轴和对称中心的知识，属于基础题.7双曲线： 与轴的一个交点是，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】D【解析】双曲线过点，则： ，据此可得： ，则双曲线方程为： ，双曲线的渐近线满足： ，据此整理可得双曲线的渐近线为： .本题选择D选项.点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为 (即)，应注意其区别与联系.8地铁某换乘站设有编号为，的五个安全出口.若同时开放如下表两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号，疏散乘客时间（）120220160140200则疏散乘客最慢的一个安全出口的编号是A B C D【答案】C【解析】设出个出口疏散的时间，利用表格所给数据列方程组，解方程组求得每个出口所用的时间，由此确定最慢的安全出口.【详解】设个出口的疏散时间分别为，依题意，解得，故最慢的是出口，故选C.【点睛】本小题主要考查实际问题的理解，考查方程的思想，属于基础题.9能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数，称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是A B C D【答案】B【解析】根据函数奇函数和偶函数图像的对称性可知，选项中的奇函数是“等分函数”，偶函数不是“等分函数”.对选项逐一分析奇偶性，由此得出正确选项.【详解】奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，故选项中的奇函数是“等分函数”，偶函数不是“等分函数”.对于A选项，为奇函数，对于B选项，为偶函数，对于C选项，由解得函数的定义域为，且，为奇函数.对于D选项，为奇函数.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数奇函数和偶函数图像的对称性，考查阅读理解能力，属于中档题.10我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为A B C D【答案】C【解析】根据三视图得到原图的结构，由圆柱和圆锥的体积公式计算得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱挖掉一个圆锥所得，故体积为.根据“幂势既同”可知，所求几何体的体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图，考查组合体体积的计算，考查中国古代数学文化.属于基础题.11四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为A B C D【答案】A【解析】通过证得三角形和三角形为有公共斜边的直角三角形，确定球心的位置为的中点，由此计算得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于平面，故，而故平面，所以，所以三角形和三角形为有公共斜边的直角三角形，设斜边的中点为，则有，即为外接球的球心，为球的直径.，所以球的表面积为，故选A.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查空间想象能力，属于基础题.12设函数，.若存在两个零点，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】令，转化为两个函数图像的交点来研究的零点，由此求得的取值范围.【详解】令，得，画出函数和的图像如下图所示，由图可知，当直线过时，当直线过时，即当时，两个函数图像有个交点，即有个零点.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查一次函数的图像是直线，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查动态分析的观点，属于中档题.对于函数零点问题，可以令函数为零，然后转化为两个函数的图像交点来研究.二、填空题13曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】利用导数求得函数在处切线的斜率，根据点斜式求得切线方程.【详解】，故，由点斜式得，即切线方程为.【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查利用导数求曲线切线方程的求法，属于基础题.14若实数，满足，则的最小值是_【答案】1【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影，再将目标函数zxy对应的直线进行平移，可得当x0，y1时，zxy取得最小值【详解】作出实数x，y满足条件表示的平面区域，得到如图的阴影，设zxy，将直线l：zxy进行平移，当l经过点A（0，1）时，目标函数z达到最小值z最小值1故答案为-1【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题15已知点为抛物线：上任意一点，点，则的最小值为_【答案】【解析】设出抛物线上任意一点的坐标，利用两点间的距离公式表示，根据二次函数的最小值，求得的最小值.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，由两点间的距离公式得，当，即时，取得最小值为.【点睛】本小题主要考查抛物线上的点到定点的距离的最小值的求法，考查两点间的距离公式，考查二次函数最小值的求法，属于中档题.由于抛物线上的点是动点，故要设抛物线上任意一点的坐标，在设坐标的时候，利用抛物线的方程，可以只设一个坐标，得到另一个坐标的表达式，减少设的未知数.16正项等比数列中，存在两项，使得，且，则的最小值是_【答案】4【解析】根据求得的值，由求得的一个等式，利用基本不等式求得的最小值.【详解】由于数列是正项等比数列，由得，解得（负根舍去）.由，得.故 .即最小值为.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求解表达式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题目涉及等比数列的问题，主要根据已知条件计算出的值，然后求得的一个等式，通过这个等式，利用基本不等式来求得最小值.三、解答题17在中，角，所对的边分别为，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理化简，求得，进而得到.（2）利用余弦定理求得的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，又，得到，即.（2）由（1）知，且，所以，.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数二倍角公式，属于中档题.18为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人，结果如下：男女需要185不需要3245（1）估计该地区70岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？（2）能否有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？说明理由.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828，.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）利用题目所给表格中的数据，计算出男、女需要志愿者提供帮助的比例.（2）完成列联表，计算,故有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.（3）根据（2）老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，故按男、女分层抽样更好.【详解】（1）需要志愿者提供帮助的男的比例为，女的比例为.（2）完成列联表：男女合计需要18523不需要324577合计5050100 .有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区70岁以上的老人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区70岁以上男性老人与女性老人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区70岁以上老人中男、女的比例，再把老人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样办法更好.【点睛】本小题主要考查列联表分析及独立性检验，考查阅读理解能力，属于中档题.19如图，在四棱锥中，底面是菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）利用等腰三角形的性质，