法国数学家笛卡儿：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题都可以 转化为方程问题，因此，一旦解决了方程 问题，一切问题将迎刃而解。列二元一次方程组解应用题的主要题型复习一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤 1、审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。弄清题意和题目中的数量关系， 2、找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出） ，列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 3、设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子， 然后利用已找出的等量关系列出方程。设未知数及作答时若有单位的一定要带单位，方程中数量单位一定要统一。设元（未知数） 。直接设元法间接设元法（往往二者兼用） 。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 1）直接设元法：求什么设什么，方程的解就是问题的答案； 2）间接设元法：不是求什么设什么，方程的解并不是问题的答案，需要根据问题中的数量关系求出最后的答案。4、解方程：解所列的方程，求出未知数的值 5、检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解， 是否符合实际，检验后写出答案。如： 甲、乙两人的收入之比为 43，支出之比为 85，一年间两人各储存了 500 元，求两人的年收入各是多少？ 解：设甲的年收入为 x 元，乙的年收入为 y 元，根据题意，得 解得： 答：甲的年收入为 1500 元，乙的年收入为 1125 元 二、设未知数的几种常见方法 1、设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个 例：李红用甲、乙两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息 43.92 元已知这两种储蓄的年利率的和为 3.24，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税利息金额20） （答案：2.25和0.99）解 ：设甲、乙这两种形式储蓄的年利率分别为 x、y， 2、设间接未知数：即设的不是所求量有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程 例：甲、乙两厂计划在上月共生产机床 360 台，结果甲厂完成了计划的 112，乙厂完成了计划的 110，两厂共生产了机床 400 台，问上月两厂各超额生产了机床多少台？（答案 24 台和 16 台）解：设上月份甲厂计划生产机床 x 台，乙厂计划生产机床 y 台， 3、少设未知数：有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解 例：怎样把 45 分成甲、乙、丙、丁四个数，使甲数加 2，乙数减 2，丙数加倍，丁数减半的结果相等？ （答案：甲数为 8，乙数为 12，丙数为 5，丁数为 20）解 设甲数为 x，丙数为 y，则乙数为 x4，丁数为 4y， 4、多设未知数：有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数 例：甲车和乙车共坐了 93 人，乙车和丙车共坐了 96 人，丙车和丁车共坐了 98 人，问甲车和丁车共坐了多少人？（答案 95 人） 思路与技巧 本题只需求甲车和丁车乘坐的人数之和，但是若以这个量为未知数，列方程比较困难因此，我们不妨设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数作为辅助未知数，列出方程组来求解解 设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数分别为 x、y、z、u， 三、列方程组解应用题的常见题型 1、和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系式是：较大量较小量多余量，总量倍数1 倍量 例：第一个容器有 49L 水，第二个容器有 56L 水，如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是这个容器容量的一半；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是这个容器容量的三分之一，求这两个容器的容量。 （答案63L，84L）解：设第一个容器的容量为 xL，第二个容器的容量为 y L，那么第二个容器倒给第一个容器（x49）L，剩下 56（x49）L 水，第一个容器倒给第二个容器（y56）L，剩下49（y56）L 水，2、产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系式是：加工总量成比例 例：某车间有 28 名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝 12 个或螺母 18 个，一个螺丝装配两个螺母，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，才能使每天的产品正好配套？ （答案：12 人生产螺丝，16 人生产螺母）解：设每天安排 x 人生产螺丝，y 人生产螺母，3、速度问题： 解这类问题的基本关系式是：路程速度时间一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题。 例：某人从甲地骑车出发，先以 12km/h 的速度下山坡，后以 9kmh 的速度过公路到达乙地，共用 55min；返回时，按原路先以 8kmh 的速度过公路，后以 4kmh 的速度上山坡回到甲地，共用 1h30min，问甲地到乙地共多少千米？（答案：9km ）解：设甲地到乙地山坡路为 x km，公路为 y km例：一列快车长 70m，一列慢车长 80m，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，需要 1min；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车，只需要 12s，问快车和慢车的速度各是多少？ （答案：快车的速度是 7.5ms，慢车的速度是 5ms）解：设快车的速度是 x ms，慢车的速度是 y ms，例：甲、乙两人在 200m 的环形跑道上练习竞走，乙的速度比甲快，当他们都从某地同时背向行走时，每隔 30s 种相遇一次；同向行走时，每隔 4 分钟相遇一次，求甲、乙两人的竞走速度 （答案：甲 175mmin，乙 225m/min ） 解：设甲的速度为 xmmin，乙的速度为 ymmin， 4、航速问题：此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为： 顺流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速 逆流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速 例：甲轮从 A 码头顺流而下，乙轮从 B 码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于中点，而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的 2 倍，已知水流速度是 4kmh，求两轮在静水中的速度 （答案：甲 20kmh，乙 28kmh）解：设甲轮在静水中的速度为 x km/h，乙轮在静水中的速度为 y kmh，5、工程问题： 解这类问题的基本关系式是：工作量工作效率工作时间 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为 1 的工程问题 例：一批机器零件共 840 个，如果甲先做 4 天，乙加入合做，那么再做 8 天才能完成；如果乙先做 4 天，甲加入合做，那么再做 9 天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？（答案：50 个、30 个 ） 解：设甲每天做 x 个机器零件，乙每天做 y 个机器零件，例：一项工程，甲队单独做要 12 天完成，乙队单独做要 15 天完成，丙队单独做要 20天完成按原定计划，这项工程要求在 7 天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务问甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？ （答案：4 天，2 天）解：设甲、乙两队先合做了 x 天，丙队加入后又做了 y 天，6、增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量（1增长率）增长后的量， 原量（1减少率）减少后的量 例：某中学校办工厂今年总收入比总支出多 30000 元，计划明年总收入比总支出多69600 元，已知计划明年总收入比今年增加 20，总支出比今年减少 8，求今年的总收入和总支出 （答案：150000 元，120000 元）解：设今年的总收入为 x 元，总支出为 y 元，7、盈亏问题： 解这类问题关键是从盈（过剩） 、亏（不足）两个角度来把握事物的总量 例：为了迎接新学期开学，某服装厂赶制一批校服，要求必须在规定时间内完成，在生产过程中，如果每天生产 50 套，这将还差 100 套不能如期完成任务；如果每天生产 56 套，就可以超额完成 80 套，问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成？（答案：1600套，30 天）解：设原计划生产 x 套校服，原计划规定生产 y 天，8、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示如当 n 为整数时，奇数可表示为 2n1（或 2n1） ，偶数可表示为 2n 等有关两位数的基本等量关系式为：两位数十位数字10个位数字 例：一个两位数的个位数字比十位数字大 5，如果把个位数字与十位数字对换，所得的新两位数与原两位数相加的和为 143，求这个两位数 （答案：49 ）解：设这个两位数的个位数字为 x，十位数字为 y，9、几何问题： 解这类问题：根据图形的特征，基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积、体积公式等计算公式 例：有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为 54，第二个长方形的长与宽之比为 32，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大 112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的 2 倍还大 6cm，求这两个长方形的面积 （答案：1620，150）解：设第一个长方形的长与宽分别为 5xcm 和 4xcm，第二个长方形的长与宽分别为 3ycm和 2ycm，10、年龄问题： 解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等，两人的年龄差是永远不会变的 例：师傅对徒弟说：“我像你这样大时，你才 4 岁，将来当你像我这样大时，我已经是52 岁的老人了” 问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？ （答案：36 岁，20 岁）有三种算法1、设师傅年龄为 X，徒弟年龄为 Y，根据题意得：Y-(X-Y)=4.,x+(x-y）=52，2、设两人年龄差为 X，师傅为 Y，根据题意得：Y=4+2X,52=Y+X3、设两人年龄差为 X，徒弟年龄为 Y，根据题意得：Y=X+4,52=Y+2X 11、经济类问题：即利息=本金利率期数 本息和=本金+利息=本金+本金利率期数税后利息=本金利率期数（1-利息税率）利息所得税利息金额20商品的利润=商品的售价-商品的进价商品的利润率=商品的利润/商品进价10012、等积类问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变。 变形前后的质量（或体积）不变.