章常用计量经济模型 第一节时间序列的外推 平滑和季节调整 一 时间序列的成分趋势成分 Trend 循环成分 Cyclical 季节成分 Season 不规则成分 Irregular 二 简单外推模型 由时间序列过去行为进行预测的简单模型 适用于yt有一个长期增长的模式 1 线性趋势模型yt c1 c2t 2 指数增长趋势模型 两边取对数 3 自回归趋势模型 4 二次曲线趋势模型 对数自回归趋势模型 美国商业部 1986年1月至1995年12月百货公司的月零售额 亿元 例1 百货公司销售预测 三 平滑技术 目的是 消除 时间序列中的不规则成分引起的随机波动 适用于稳定的时间序列 1 移动平均模型 移动平均数 最近n期数据之和 n 例如3期移动平均 中心移动平均 3期中心移动平均 2 指数加权移动平均模型 即 EWMA ExponentiallyWeightedMovingAverages 越小 时间序列的平滑程度越高 例2 美国月度新建住房数 1986年1月至1995年10月 四 季节调整 目的是 消除 时间序列中的季节成分引起的随机波动 Census 美国普查局开发的标准方法 移动平均比值法 RatiotoMovingAverages RatiotoMovingAverages Multiplicative 第一步用中心移动平均平滑序列yt 对于月度资料 对于季度资料 此时可大致认为已无季节和不规则波动 可看作的估计 第二步估计S I 令 zt即为S I的估计 第三步消除不规则变动 得到S的估计对S I中同一季节的数据进行平均 从而消除掉I 例如 对于月度数据 假定y1是1月份的数据 y2是1月份的数据 y3是1月份的数据 y4是1月份的数据 总共4年数据 则 第四步调整S的估计 使其连乘积等于1或和等于12 第二节随机时间序列模型 基本假定 时间序列是由某个随机过程生成的 在一定条件下 我们可以从样本观察值中估计随机过程的概率结构 这样我们就能够建立序列的模型并用过去的信息确定序列未来数值的概率 常用模型 AR模型 MA模型 ARMA模型 ARIMA模型 VAR模型 ECM等 统计特征不随时间变化而变化的过程是平稳过程 StableProcess 如果过程是严平稳的 StrictlyStationary 那么对任意的t和k 时刻t的联合概率密度函数等于时刻t k的联合概率密度函数 也就是说 对于具有严平稳性质的随机过程 其全部概率结构只依赖于时间之差 严平稳性的条件很严格 我们希望稍微放松限制条件 于是从实际角度考虑 我们可以用联合分布的矩的平稳性来定义随机过程的平稳性 一 平稳过程 m阶弱平稳过程 WeaklyStationary 是指随机过程的联合概率分布的矩直到m阶都是相等的 若一个过程 r t 是2阶弱平稳过程 那么它会满足下列条件 1 随机过程的均值保持不变 2 随机过程的方差不随时间变化 3 r i 和r j 之间的相关性只取决于时间之差j i 注 弱平稳过程不一定是严平稳过程 而严平稳过程若存在二阶矩 则必是2阶弱平稳过程 例 白噪声过程 其中随机变量满足 显然白噪声过程是一个2阶弱平稳过程 例 随机游走模型 其中是服从正态分布的白噪声 显然 因此Pt是非平稳过程 用 X t 表示一随机过程 滞后期为k的自相关系数定义为 二 自相关函数 如果 X t 是一个平稳过程 则有 因此 其中 协方差函数 自相关函数揭示了X t 的相邻数据点之间存在多大程度的相关 如果对所有的k 0 序列的自相关函数等于0或近似等于0 则说明序列的当前值与过去时期的观测值无关 这时该序列没有可预测性 相反 如果金融序列间是自相关的 就意味着当前回报依赖历史回报 因此可以通过回报的历史值预测未来回报 例 白噪声过程的自相关函数 协方差函数 自相关函数 样本自相关函数 样本自相关函数可以用来检验序列的所有k 0的自相关函数的真实值是否为0的假设 Box和Pierce的Q统计量 如果检验通过 则随机过程是白噪声 自相关函数还可被用于检验一个序列是否平稳 平稳时间序列的自相关函数随着滞后期k的增加而快速下降为0 齐次非平稳过程 yt非平稳 但yt yt 1平稳 称yt为一阶齐次非平稳过程 例 随机游走过程是一阶齐次非平稳过程 例 利率的模型 时间序列的当前值依赖于过去时期的观察值 三 自回归 Auto Regression 模型 p阶自回归模型AR p 一阶自回归模型AR 1 均值 例 带漂移项的随机游走过程 过程是非平稳的 不妨设常数项为0 平稳AR 1 过程的自相关函数 方差 协方差 自相关函数 这说明自回归过程具有无限记忆力 过程当前值与过去所有时期的值相关 且时期越早 相关性越弱 四 移动平均 MovingAverages 模型 q阶移动平均模型MA q 一阶移动平均模型MA 1 均值 MA 1 过程的自相关函数 协方差 自相关函数 这说明MA 1 过程仅有一期的记忆力 MA q 过程有q期的记忆力 五 混合自回归 移动平均 ARMA 模型 ARMA p q ARMA 1 1 均值 ARMA 1 1 过程的自相关函数 协方差 方差 自相关函数 六 ARIMA模型 ARIMA p d q 对原序列yt作d阶差分后应用ARMA p q 自回归算子 移动平均算子 d的确定 差分后检查自相关函数 确定序列是否平稳 直到平稳为止 p q的确定 由自相关函数 偏自相关函数确定 或由AIC SC准则确定 ARIMA模型的确认 若自回归过程的阶数为p 则对于j p应有偏自相关函数 j 0若移动平均过程的阶数为q 则对于j q应有自相关函数 j 0AIC SC准则 选择使准则值达到最小的模型阶数 第三节VAR模型 一 VAR VectorAutoRegression 向量自回归 二 格兰杰因果关系 GrangerCausality 如果变量x的过去和现在信息能有助于改进变量y的预测 则称y是由x格兰杰原因引起的 yisGranger causedbyx 即若变量x的过去和现在信息被考虑进总体的所有其它信息中时 y能被预测得更有效 Granger C W J 1969 InvestigatingCausalRelationsbyEconometricModelsandCross SpectralMethods Econometrica 37 424 438 GrangerCausalityTest 假定 x y T由VAR p 过程生成 即 检验 x不是y的GrangerCause 检验 y不是x的GrangerCause 三 脉冲响应函数 ImpulseResponseFunctions 脉冲响应函数确定每个内生变量对他自己及所有其它内生变量的变化是如何反应的 四 方差分解 VarianceDecomposition 把每个变量预测误差的方差按其成因分解为与各个内生变量相关联的组成部分 第四节协整理论 Engle RobertF andC W J Granger 1987 Co integrationandErrorCorrection Representation Estimation andTesting Econometrica55 251 76 两个或两个以上非平稳的时间序列进行特殊组合后可能呈现平稳性 若xt和yt是随机游走 但变量zt xt yt是平稳的 则称xt和yt是协整的 协整向量为 1 例 考虑模型 其中u1t和u2t是不相关的白噪声 分析 y2t是随机游走