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华东师大2009年数学分析考研试题1 判断下列各题是否正确,若正确给出证明,若错误举出反例.1. 设,此处均为实数,则.2. 设为闭区间上不恒为零的连续函数,为Dirichlet函数,则在上不可积.3. 存在实数,使得.4. 已知在处连续,且,证明在处可导.5. 如果在处可导,则在的一个邻域内连续.6. 若多项式函数列在上一致收敛于函数,则必是多项式函数.2 计算下列各题1. 设,求极限.2. 设圆盘上的各点的密度等于该点到其圆心的距离,求此圆盘的质量.3. 设为中封闭光滑曲面,为任何固定方向,为曲面的外法线方向,求.3 证明下列各题1. 设是曲面外一点,若,求证直线是在点处的法线.2. 设,证明在原点处沿任何方向的的方向导数存在,但不可微.3. 设,均为实数,已知在上单调,值域为,证明在上一致连续.4. 设数列满足条件:,且,证明数列无界.5. 设在上连续且有界,证明对任意正数,存在,使得.6. 设函数在闭区间上可积,证明 若对任意,有,则存在,使得对任意,均有.华东师大2009年数学分析考研试题解答一1.解 错误.反例. 设,显然,但,.2. 解 正确.由在上连续不恒为零,可知,存在,使得在上有,显然在上不可积,从而在上不可积.3. 解 正确.可选取到周期为的连续可微函数,且当时,;时,取,为的Fourier系数,则有,结论得证.4. 解 正确,因为,所以在处可导.5. 解 错误.反例 设,显然在处可导,但在处不连续.6、设实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数,证明:也是多项式。证明 因为实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数,所以对任意,存在,使得当时,有,又因为也是多项式,若不为常数,则当趋于无穷时,也趋于无穷,矛盾。所以,其中为一无穷小序列。 由上面结论及是多项式,可知当时,其中为某一固定的多项式,为某一收敛数(因为为柯西列)因为由已知条件,一致收敛于0,及,所以有,即也是多项式,结论得证。二1.解 , ,当时,当时,.2. 解 .3. 解 设,则,利用高斯公式,则有 .三1.证明 设,显然在上连续,为有界闭集,在上达到最大值,设在处达到最大值,令,令,在处取到条件极值,必是的驻点,即得满足,曲面在的法线方向为,所以直线是在点处的法线.2. 证明 由,即得,表及里所以在处连续,对任意方向,存在,显然,当,时,的极限不存在,所以在处不可微.3. 证明 因为函数的值域为开区间,所以在上具有介值性质,又在上单调,可以得到在上连续,由在上单调有界,所以,存在且有限,从而知在上一致连续.4. 证明 用反证法假若数列有界,存在,使得,由条件知 ,对,存在正整数,当时,有,令,则有,于是有,从而显然有,这与矛盾,所以数列无界.5、 设在区间上连续有界,且对某个,对所有,有,试证:存在数列,使得。证明 ,依题设条件,可得必有或,不妨设, 我们断定,对于任意大的,不可能对所有,恒有,否则由,这与的有界性矛盾,所以任取,存在,使得,所以 ,结论得证。注:。 6、设函数在区间上Riemann可积,且.试证明:存在闭区间,使得当时,.证明:反证法,假设对任意区间,都存,使,任意分割,都存在,使得,于是,与题设条件,矛盾.8
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