第2讲点 直线 平面之间的位置关系 高考导航 热点突破 备选例题 阅卷评析 真题体验 1 2018 全国 卷 文9 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为棱CC1的中点 则异面直线AE与CD所成角的正切值为 C 高考导航演真题 明备考 C 3 2018 全国 卷 文16 已知圆锥的顶点为S 母线SA SB互相垂直 SA与圆锥底面所成角为30 若 SAB的面积为8 则该圆锥的体积为 答案 8 4 2018 全国 卷 文18 如图 在平行四边形ABCM中 AB AC 3 ACM 90 以AC为折痕将 ACM折起 使点M到达点D的位置 且AB DA 1 证明 平面ACD 平面ABC 1 证明 由已知可得 BAC 90 即BA AC 又BA AD 所以AB 平面ACD 又AB 平面ABC 所以平面ACD 平面ABC 2 在线段AM上是否存在点P 使得MC 平面PBD 说明理由 2 解 当P为AM的中点时 MC 平面PBD 证明如下 连接AC交BD于O 因为ABCD为矩形 所以O为AC的中点 连接OP 因为P为AM的中点 所以MC OP 又MC 平面PBD OP 平面PBD 所以MC 平面PBD 考情分析 1 考查角度 1 线 面位置关系的判断 2 异面直线所成的角 3 直线与平面所成的角 4 空间平行 垂直关系的证明 5 折叠和探究问题 2 题型及难易度选择题 填空题 解答题 中档题为主 热点突破剖典例 促迁移 热点一 空间线 面的位置关系 考向1空间线 面位置关系的判断 例1 2018 湖南省湘东五校联考 已知直线m l 平面 且m l 给出下列命题 若 则m l 若 则m l 若m l 则 其中正确的命题是 A B C D 解析 对于 若 m l 则m l 故 正确 对于 若 则直线m与l可能异面 平行或相交 故 错误 对于 若m l m 则l 又l 所以 故 正确 故选D 方法技巧 1 空间线面位置关系判断的常用方法 根据空间线面平行 垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 必要时可以借助空间几何模型 如从长方体 四面体等模型中观察线面位置关系 并结合有关定理来进行判断 2 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 过特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 热点训练1 2017 全国 卷 如图 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N Q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线AB与平面MNQ不平行的是 热点二 线面平行 垂直的证明 例3 2018 石家庄市质检一 如图 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD为正方形 且PA 底面ABCD 过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF 且满足S PEF S四边形CDEF 1 3 1 证明 PB 平面ACE 1 证明 由题知四边形ABCD为正方形 所以AB CD 因为CD 平面PCD AB 平面PCD 所以AB 平面PCD 又AB 平面ABFE 平面ABFE 平面PCD EF 所以EF AB 所以EF CD 由S PEF S四边形CDEF 1 3知E F分别为PD PC的中点 如图 连接BD交AC于点G 则G为BD的中点 连接EG 则EF PB 又EG 平面ACE PB 平面ACE 所以PB 平面ACE 2 当PA 2AD 2时 求点F到平面ACE的距离 方法技巧 1 线面平行及线面垂直的证明方法 要证线面平行 主要有两个途径 一是证已知直线与平面内的某直线平行 二是证过已知直线的平面与已知平面平行 在这里转化思想在平行关系上起着重要的作用 在寻求平行关系上 利用中位线 平行四边形等是非常常见的方法 要证线面垂直 关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直 即线线垂直 线面垂直 结合图形还要注意一些隐含的垂直关系 如等腰三角形的三线合一 菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等 2 求点到平面的距离的常用方法 直接作出点到平面的垂线段 再计算 通过线面平行 转化为其他点到平面的距离 等体积法 热点训练3 2018 南昌市重点中学一模 已知四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD E F分别为AD PC上的点 AD 3AE PC 3PF 四边形BCDE为矩形 1 求证 PA 平面BEF 热点三 立体几何中的折叠和探索性问题 1 求证 BC 平面ACD 2 点F在棱CD上 且满足AD 平面BEF 求几何体F BCE的体积 方法技巧 1 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口 一般地 在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 解决这类问题就是要根据这些变与不变 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 这是化解翻折问题的主要方法 2 探求某些点的具体位置 使得满足平行或垂直关系 是一类逆向思维的题目 一般可采用两种方法 一是先假设存在 再去推理 下结论 二是运用推理证明计算得出结论 或先利用条件特例得出结论 然后再根据条件给出证明或计算 3 存在探究性问题可先假设存在 然后在此前提下进行逻辑推理 得出矛盾或肯定结论 热点训练4 2016 全国 卷 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 1 证明 AC HD 2 当点P为AB边中点时 求点B到平面MPC的距离 备选例题挖内涵 寻思路 2 若BC SD 求点B到平面SAD的距离 例2 2018 武汉市四月调研 在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别在棱AB CD上 且AE CF 1 1 求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值 2 求四面体EFC1A1的体积 阅卷评析抓关键 练规范 2 若点M在棱BC上 且MC 2MB 求点C到平面POM的距离 注 第 1 问得分说明 由等腰三角形性质证明OP AC 得1分 计算出OP OB的长各得1分 根据勾股定理的逆定理证明OP OB 得1分 证明结论 得1分 第 2 问得分说明 正确作出辅助线 得1分 证明CH 平面POM 得2分 由解三角形求出OM 得2分 由 面积法 求出CH 得2分 答题启示 1 证明线线平行常用的方法 利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 利用平行四边形进行平行转换 利用三角形的中位线定理证明 利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边中线即高线这一性质 勾股定理的逆定理 线面垂直的性质定理 即要证两直线垂直 只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面 3 证线面垂直时 一定证出该直线与平面内两条相交线垂直 本题常不能熟练运用勾股定理的逆定理证明OP OB而失分 4 求点到平面的距离 要 一作 二证 三求 缺一不可 或利用 等积法 进行求解 本题在求点C到平面POM距离时 往往作不出距离而无法求解 或忽视证明CH 平面POM而失分