第1讲函数的图像与性质1.2017全国卷 函数y=的部分图像大致为()A B C D图M1-1-1试做命题角度函数图像的识别解题策略:步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性、对称性等,初步排除选项(需观察选项,确定首先判断已知函数的什么性质);步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断)或特殊点描绘函数的大致图像得出答案. 注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;(2)有时需要关注由已知函数图像上下或者左右平移得到的对称性等.2.【引全国卷】2018全国卷 已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ()A.-50B.0C.2D.50【荐地方卷】2017山东卷 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0 时,f(x)=6-x,则f(919)=.试做命题角度函数周期性为背景的问题利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值.求函数周期性的方法:a:若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期.b:若函数满足f(x+a)=-f(x),则2a是函数的一个周期.c:若函数满足f(x+a)=,则2a是函数的一个周期.对称性与周期性:如果一个函数y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数.具体如下:a:关于两个点对称,若y=f(x)的图像关于点(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.b:关于两条线对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.c:关于一条线和一个点对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为4|b-a|.3.(1)2016全国卷 已知函数f(x)(xR)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则(xi+yi)=()A.0B.mC.2mD.4m(2)2017全国卷 已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称试做命题角度函数图像对称性为背景的问题解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题.关键一:利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴.关键二:熟记关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:a.f(a+x)=2b-f(a-x)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称;b.f(a+x)+f(b-x)=c函数y=f(x)的图像关于点,对称;c.f(a+x)=f(a-x)函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;d.f(a+x)=f(b-x)函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.(特殊法)将抽象函数f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=x+1.一个函数图像的自身对称和两个不同函数的图像对称的区别.4.(1)2017全国卷 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)(2)2014全国卷 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数试做命题角度复合函数单调性与奇偶性的判断复合函数的单调性的解题策略:关键一,确定定义域,将原函数分解为基本函数(内函数与外函数);关键二,分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同增异减”来判断原函数在定义域内的单调性.注:外函数的定义域的确定需结合内函数的值域.解决两函数的积的奇偶性的策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数.注:两个函数的定义域都要关于原点对称.5.(1)2017全国卷 函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是() A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3(2)2014全国卷 已知偶函数f(x)在0,+)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是.试做命题角度解抽象函数不等式解决抽象函数不等式问题的依据是单调性的定义.将抽象函数不等式变形为类似f(x1)f(x2)的形式,结合单调性转化为常规不等式如x1x2(或x1x2).结合奇偶性和经过的特殊点进行处理.部分问题可以将抽象函数具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=-x.小题1函数的概念与表示1 (1)函数f(x)=+ln(2x+1)的定义域为()A.B.C.D.(2)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)2的x的取值范围是. 听课笔记 【考场点拨】(1)高考常考定义域易失分点:若f(x)的定义域为m,n,则在fg(x)中,mg(x)n,从中解得x的范围即为fg(x)的定义域;若fg(x)的定义域为m,n,则由mxn确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.(2)高考常考分段函数易失分点:注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提;利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.【自我检测】1.设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为()A.(1,2B.(2,4C.1,2)D.2,4)2.已知函数f(x)=则f(1)+f()+f()+f()= ()A.44B.45C.1009D.20183.已知函数f(x)=的值域是-8,1,则实数a的取值范围是 ()A.(-,-3B.-3,0)C.-3,-1D.-34.设函数f(x)=若f(a)=f,则实数a的值为.小题2函数的性质及应用2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(0,+)上单调递增,记a=f,b=f(-2-0.5),c=f(log49),则a,b,c的大小关系为()A.bcaB.abcC.cabD.bac(2)若f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数,当x0,1时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在1,2上的解析式是.听课笔记 【考场点拨】高考常考函数几个性质的应用:(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图像、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可以转化为只研究部分(一般为一半)区间上的性质.注意偶函数常用结论f(x)=f(|x|).(2)单调性:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图像和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解. (4)对称性:常围绕对称中心设置试题背景,利用对称中心的性质简化所求问题.【自我检测】1.下列函数中既为偶函数又在(0,+)上是增函数的是()A.y=B.y=x2+2|x|C.y=|ln x|D.y=2-x2.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log25)=()A.B.2C.5D.3.f(x)是R上的奇函数,对任意实数x,都有f(x)=-f ,当x时,f(x)=log2(2x-1),则f(2018)+f(2019)=()A.0B.1C.-1D.24.已知函数f(x)=+sin,则的值是()A.4036B.2018C.1009D.1007小题3函数的图像及应用3 (1)函数y=x2+的大致图像为()A B C D图M1-1-2(2)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是.听课笔记 【考场点拨】(1)确定函数图像的主要方法是利用函数的性质(如奇偶性、单调性等)及经过的特殊点;(2)函数图像的应用主要体现在数形结合中,借助于函数图像的特点和变化规律,求解有关最值、交点、方程的根等问题.【自我检测】1.已知f(x)=x-sin x,则f(x)的大致图像是()ABCD图M1-1-32.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.1,4C.4,+)D.(-,14,+)3.如图M1-1-4,在矩形MNPO中,动点R从点N出发,沿NPOM方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,MNR的面积为y,若y关于x的函数图像如图所示,则当x=9时,点R应运动到点()图M1-1-4A.N处B.P处C.O处D.M处4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x0,1时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=(-1x0,所以可以排除A.而f()=0,所以可以排除D.故选C.2.【引全国卷】C解析 因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x),由可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2+0=2.【荐地方卷】6解析 由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所