第2讲点、直线、平面之间的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线、面位置关系的判断1,2,3,5,7空间角4,6线面平行、垂直的证明8,9,10折叠与探索性问题9,10一、选择题1.已知四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,DA,CD上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是(B)(A)AC平面EFH(B)BD平面EFG(C)直线GE,FH,BD相交于一点(D)EFGH解析:利用直线与平面平行的判定定理可得选项A正确,由题意可知,EF与GH平行但不相等,所以四边形EFHG是梯形,选项D正确,易知选项C正确,故选B.2.(2018益阳市、湘潭市九月调研)如图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意,可知题图中,GHMN,因此直线GH与MN共面;题图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图中,连接MG,则GMHN,因此直线GH与MN共面;题图中,连接GN,G,M,N三点共面,但H平面GMN,所以直线GH与MN异面,故选C.3.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(C)(A)A1EDC1(B)A1EBD(C)A1EBC1(D)A1EAC解析:如图,由题意可知A1E平面A1B1CD,可以证明BC1平面A1B1CD,所以A1EBC1,故选C.4.(2018长沙市名校实验班上学期第二次阶段性测试)已知四边形ABCD为边长等于的正方形,PA平面ABCD,QCPA,且异面直线QD与PA所成的角为30,则四棱锥QABCD外接球的表面积等于(B)(A)(B)25(C)1256(D)1252解析:因为PA平面ABCD,QCPA,所以QC平面ABCD,且异面直线QD与PA所成的角即DQC,所以DQC=30,又CD=5,所以QC=.由于CB,CQ,CD两两垂直,所以四棱锥QABCD的外接球的直径就是以CB,CQ,CD为棱的长方体的体对角线,设四棱锥QABCD外接球的半径为R,则R=52,所以外接球的表面积为4(52)2=25.故选B.5.(2018南昌市摸底调研)如图,四棱锥PABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是(B)(A)PBAC(B)PD平面ABCD(C)ACPD(D)平面PBD平面ABCD解析:如图,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.因为在四棱锥PABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,所以AOPB,COPB,因为AOCO=O,所以PB平面AOC,因为AC平面AOC,所以PBAC,故选项A正确;对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD平面ABCD,则PDBD,由已知条件知点D满足BDAC且位于BM的延长线上,所以点D的位置不确定,所以PD与BD不一定垂直,所以PD平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,因为ACPB,ACBD,PBBD=B,所以AC平面PBD,因为PD平面PBD,所以ACPD,故选项C正确;对于选项D,因为AC平面PBD,AC平面ABCD,所以平面PBD平面ABCD,故选项D正确.故选B.二、填空题6.如图所示,在底面为正方形的四棱锥PABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点E为棱PA的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为.解析:取AD的中点F,连接EF,BF,则EFPD,所以BEF就是异面直线BE与PD所成的角或补角.在三角形BEF中,BF=5,EF=1,BE=3,由余弦定理得cosBEF=-,所以BE与PD所成角的余弦值为.答案:7.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:PBAE;平面ABC平面PBC;直线BC平面PAE;PDA=45.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).解析:由PA平面ABC,得PAAE,又由正六边形的性质得AEAB,所以AE平面PAB,所以AEPB,故正确;由题意可知平面PAE平面ABC,所以平面ABC平面PBC不成立,故错;由正六边形性质得BDAE,若BC平面PAE,则BCAE,所以BDBC,这与BC与BD相交矛盾,故错;设PA=2AB=2,则AE=3,AD=AE2+ED2=2,所以PA=AD,所以PAD为等腰直角三角形,所以PDA=45,故正确.答案:三、解答题8.(2018福州市质检)在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为正三角形,AB=AA1,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:ED平面BCC1B1;(2)若AB=4,求点C1到平面DEF的距离.(1)证明:法一取CB的中点G,连接AG,因为E为AB的中点,点D在棱BC上,且CD=3BD,所以AGED,因为ABC为正三角形,所以AGBC,故EDBC.直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,又DE平面ABC,所以BB1DE,因为BCBB1=B,BC平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1,所以DE平面BCC1B1.法二因为BB1平面ABC,DE平面ABC,所以BB1DE,且B1BC=B1BA=90.设AB=4a,因为AB=AA1,则AA1=4a,因为CD=3BD,所以BD=a.因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以BE=BF=2a,因为ABC为正三角形,根据余弦定理,得DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60=a2+(2a)2-2a2a12=3a2,在RtBDF中,DF2=BD2+BF2=a2+(2a)2=5a2,在RtBEF中,EF2=BE2+BF2=(2a)2+(2a)2=8a2,所以EF2=DE2+DF2,所以DEDF.又DFBB1=F,DF平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1,所以DE平面BCC1B1.(2)解:因为AB=4,所以四边形BCC1B1是以4为边长的正方形,连接C1D,C1F,C1E,则SC1DF=-(SDBF+SC1CD+)=42-(1212+1234+1224)=5.由(1)知,DE平面BCC1B1,所以三棱锥EC1DF的体积=13SC1DFDE=1353=533.在RtDEF中,SDEF=12DEDF=1235=152,设点C1到平面DEF的距离为h,因为=VC1DEF,所以533=13SDEFh,所以533=13152h,解得h=25,所以点C1到平面DEF的距离为25.9.如图,在直角梯形ABCP中,CPAB,CPCB,AB=BC=12CP=2,D是CP的中点,将PAD沿AD折起,使得PD平面ABCD.(1)求证:平面PAD平面PCD.(2)若E是PC的中点,求三棱锥APEB的体积.(1)证明:因为PD底面ABCD,所以PDAD.又由于CDAB,CDCB,AB=DC,所以四边形ABCD是正方形,所以ADCD,又PDCD=D,故AD平面PCD.因为AD平面PAD,所以平面PAD平面PCD.(2)解:因为ADBC,又BC平面PBC,AD平面PBC.所以AD平面PBC,所以点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离.又因为PD=DC,E是PC的中点,所以DEPC.由(1)知有AD平面PCD,所以ADDE.由题意得ADBC,故BCDE.于是,由BCPC=C,可得DE平面PBC,所以DE=2,PC=22.又因为AD平面PCD,所以ADCP.因为ADBC,所以CPBC.所以SPEB=12SPBC=12(12BCPC)=2.所以VAPEB=VDPEB=13DESPEB=23.10.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,底面三角形ABC是边长为2的等边三角形,D为AB的中点.(1)求证:BC1平面A1CD;(2)若直线CA1与平面A1ABB1所成的角为30,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.(1)证明:连接AC1交A1C于E点,连接DE,因为D,E分别为AB,AC1的中点,所以DEBC1.又BC1平面A1CD,DE平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解:等边三角形ABC中,CDAB.因为AA1平面ABC,所以AA1CD,且ABAA1=A,所以CD平面A1ABB1.则CA1在平面A1ABB1的射影为DA1.故CA1与平面A1ABB1所成的角为CA1D.在RtA1DC中,CA1D=30,CD=3,算得DA1=CDtan30=3.所以AA1=22.所以ABCA1B1C1的体积V三棱柱ABCA1B1C1=SABCAA1=122322=26.6