第3讲 圆锥曲线的综合问题配套作业1(2018武汉模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，直线x4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2(y1)21相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求ABM与CDM面积之积的最小值解(1)由已知P(4,0)，Q，|QF|.因为|QF|PQ|，所以，得p2.所以抛物线方程为x24y.(2)由题意可知，l斜率存在设l：ykx1.A(x1，y1)，D(x2，y2)设M(x0，y0)，则过A，D的弦方程可设为：xx02y02y即yxy0，即M(2k，1)M到l的距离d2.SABMSCDM|AB|CD|d2(|AF|1)(|DF|1)d2y1y2d2d2又由联立得：x24kx40，x1x24.SABMSCDM(2)21k21.当且仅当k0时取等号当k0时，ABM与CDM面积之积的最小值为1.2(2018厦门一检)已知抛物线C：y22px(p0)上一点M(t,8)到焦点F的距离是t.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线与抛物线C交于A，B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)由抛物线定义得|MF|t，又|MF|t，tt，即t2p，M(2p,8)，点M(2p,8)在抛物线y22px上，p216，解得p4(舍去)或p4，抛物线C的方程为y28x.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得k2x2(4k28)x4k20，显然0，x1x2，设A，B的中点为M，则xM(x1x2)，yMk(xM2)，|AB|x1x2p8，设定圆的方程为(xa)2(yb)2r2，222，(2a)2b2(4r)2，解得定圆的方程为(x3)2y29，当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为(x2)2y216，该圆也与定圆(x3)2y29内切综上，所求定圆的方程为(x3)2y29.3(2018福州模拟)如图，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足，直线AQ与BP的交点在椭圆E：1(ab0)上(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值解(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1，2)，由题可知，从而有，整理得y21，即为椭圆E的方程(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0 ，从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0 ，令t2x0，则2t0，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，u0，u4t3t4单调递减，所以当t3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为.4(2018广州二测)已知动圆P的圆心为点P，圆P过点F(1,0)且与直线l：x1相切(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若圆P与圆F：(x1)2y21相交于M，N两点，求|MN|的取值范围解(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x1为准线的抛物线曲线C的方程为y24x.(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r|x01|.圆P的方程为(xx0)2(yy0)2(x01)2.圆F：(x1)2y21，得直线MN的方程为2(1x0)x2y0yy2x010.点P(x0，y0)在曲线C：y24x上，y4x0，且x00.点F到直线MN的距离d.圆F：(x1)2y21的半径为1，|MN|2222.x00，(x01)21，0，11，|MN|0时，9k212，所以m0；当k0时，9k12，所以0b0)，抛物线x28y，焦点F(0,2)，b2，方程2x23x200即(2x5)(x4)0，2c4，即c2，a2b2c216，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为yxt，由得x2txt2120，t24(t212)0，4tb0)与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积为2，且点P在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过点G的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过Q点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意可知2ab2，所以ab，又点P在椭圆上，所以有1，由联立，解得b21，a22，故所求的椭圆方程为y21.(2)直线l的方程可设为ykx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得9(12k2)x212kx160.由韦达定理得x1x2，x1x2，假设在y轴上存在定点Q(0，m)，使以AB为直径的圆恒过这个点，则，即0，(x1，my1)，(x2，my2)，x1x2(my1)(my2)x1x2(1k2)x1x2k(x1x2)m2m20.求得m1.因此，在y轴上存在定点Q(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点8(2018珠海模拟) 已知椭圆C：y21的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点(1)求MFN的面积的最小值；(2)证明：E，O，D三点共线解(1)设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，0，即(1，m)(1，n)0，mn1.又SMFN|MN|OF|mn|m(n)|，m0，n0，m(n)222，当且仅当mn时等号成立SMFN21，MFN的面积的最小值为1.(2)证明：A(，0)，M(0，m)，直线AM方程为y xm，联立得y20，yAyE，yE.同理yD.将纵坐标代入直线方程得xE，xD，又mn1，又，.E，O，D三点共线8