专题强化练十一 空间点、线、面的位置关系一、选择题1(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面故“mn”是“m”的充分不必要条件答案：A2(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析：如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案：C3(2018河南开封一模)在空间中，a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，ab，则bD若，a，则a解析：对于A，若a，b，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A是假命题；对于B，设m，a，b均与m平行，则ab，故B是假命题；对于C，b或b在平面内，故C是假命题；对于D，若，a，则a与没有公共点，则a，故D是真命题答案：D4(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B.C.D.解析：因为CDAB，所以BAE即为异面直线AE与CD所成的角设正方体的棱长为2，则BE.因为AB平面BB1C1C，所以ABBE.在RtABE中，tan BAE.所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.答案：C5(2018长沙雅礼中学联考)对于四面体ABCD，有以下命题：若ABACAD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；若ABCD，ACBD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心；四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.其中正确的命题序号是()A B C D解析：正确，若ABACAD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；不正确，如图1，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BOCD，COBD，所以点O是BCD的垂心；正确，如图2，若AB平面BCD，BCD90，则四面体ABCD的四个面均为直角三角形；正确，设正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式S4Sr，解得r，那么内切球的表面积S4r2.故正确的命题是.答案：D二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_解析：由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.答案：平行7正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.解析：因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误答案：8直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长都为1，ABBC1，且直线AB与平面BB1C1C所成的角为60，则异面直线A1B，AC所成角的余弦值为_解析：由于ABCA1B1C1为直三棱柱，则AB与平面BB1C1C所成的角即为ABC.依题设，ABBC1，ABC60，则ABC为正三角形由ACA1C1，知BA1C1为异面直线A1B与AC所成的角由于A1C11，A1B，C1B.由余弦定理得：cos BA1C1.答案：三、解答题9(2018湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，AD2BC，DABABP90.(1)求证：AD平面PAB；(2)求证：ABPC；(3)若点E在棱PD上，且CE平面PAB，求的值(1)证明：因为DAB90，所以ADAB.因为平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以AD平面PAB.(2)证明：由(1)知ADAB，因为ADBC，所以BCAB.又因为ABP90，所以PBAB.因为PBBCB，所以AB平面PBC，因为PC平面PBC，所以ABPC.(3)解：过E作EFAD交PA于F，连接BF.如图所示因为ADBC，所以EFBC.所以E，F，B，C四点共面又因为CE平面PAB，且CE平面BCEF，平面BCEF平面PABBF，所以CEBF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以EFBCAD.在PAD中，因为EFAD，所以，即.10(2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明：(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.11如图，在矩形ABCD中，AB2AD，M为DC的中点，将ADM沿AM折起使平面ADM平面ABCM.(1)当AB2时，求三棱锥MBCD的体积；(2)求证：BMAD.(1)解：取AM的中点N，连接DN.如图所示因为在矩形ABCD中，M为DC的中点，AB2AD，所以DMAD.又N为AM的中点，所以DNAM.又因为平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，DN平面ADM.所以DN平面ABCM.因为AD1，所以DN.又SBCMCMCB.所以V三棱锥MBCDV三棱锥DBCMSBCMDN.(2)证明：由(1)可知，DN平面ABCM.又BM平面ABCM，所以BMDN.在矩形ABCD中，AB2AD，M为DC中点，所以ADM，BCM都是等腰直角三角形，且ADM90，BCM90，所以BMAM.又DN，AM平面ADM，DNAMN，所以BM平面ADM.又AD平面ADM，所以BMAD.7