第2讲 空间中的平行与垂直配套作业一、选择题1(2018青岛二模)已知m，n是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则的一个充分条件是()Am，mB，Cm，n，mnDm，n是异面直线，m，m，n，n答案D解析A中，可能相交，故错误；B不正确，如正方体中过同一个顶点的三个平面的关系；C中，可能相交，故错误；根据直线与平面平行的性质定理及平面与平面平行的判定定理可知D正确2如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A B C D答案B解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错误，故选B.3(2018芜湖质检)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上任意一点，则点G到平面D1EF的距离是()A. B. C. D.答案D解析设点G到平面D1EF的距离为h.因为A1B1EF，点G在A1B1上，所以点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离，即点A1到D1E的距离，D1E，由A1D1A1ED1Eh，则h，故选D.4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行答案D解析如图所示，连接C1D，BD，则MNBD，而C1CBD，故C1CMN，故A，C正确，D错误，又因为ACBD，所以MNAC，B正确5在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为O，E为BC的中点，则异面直线D1O与B1E所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析取A1B1的中点F，连接OF，OE，则由OE綊B1F知，四边形OEB1F为平行四边形，B1EOF，D1OF为异面直线D1O与B1E所成角连接D1F，设正方体的棱长为2，则OFB1E，D1O，D1F，cosD1OF.6.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是()A点F的轨迹是一条线段BA1F与BE是异面直线CA1F与D1E不可能平行D三棱锥FABC1的体积为定值答案C解析由题知A1F平面D1AE，分别取B1C1，BB1的中点H，G，连接HG，A1H，A1G，BC1，可得HGBC1AD1，A1GD1E，故平面A1HG平面AD1E，故点F的轨迹为线段HG，A正确；由异面直线的判定定理可知A1F与BE是异面直线，故B正确；当F是BB1的中点时，A1F与D1E平行，故C不正确；HG平面ABC1，F点到平面ABC1的距离不变，故三棱锥FABC1的体积为定值，故D正确7(2018洛阳模拟)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B. C1 D.答案C解析根据题意画出图形，再由棱锥的体积公式直接求解在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，SDB1C12.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高V三棱锥AB1DC1SDB1C1AD1.二、填空题8(2018厦门一检)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点，平面A1DC分此棱柱成两部分，多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为_答案解析由题意得三棱锥A1ADC的高等于三棱柱A1B1C1ABC的高，底面面积等于三棱柱A1B1C1ABC的底面面积的一半，则三棱锥A1ADC的体积等于三棱柱A1B1C1ABC的体积的，所以多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC的体积之比为.9已知四边形ABCD是矩形，AB4，AD3.沿AC将ADC折起到ADC，使平面ADC平面ABC，F是AD的中点，E是AC上一点，给出下列结论：存在点E，使得EF平面BCD；存在点E，使得EF平面ABC；存在点E，使得DE平面ABC；存在点E，使得AC平面BDE.其中正确的结论是_(写出所有正确结论的序号)答案解析对于，存在AC的中点E，使得EFCD，利用线面平行的判定定理可得EF平面BCD；对于，过点F作EFAC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得EF平面ABC；对于，过点D作DEAC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得DE平面ABC；对于，因为ABCD是矩形，AB4，AD3，所以B，D在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC平面BDE.10(2018天津河西区质检)如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析AE平面PAC，BCAC，BCPA，ACPAAAEBC，故正确AEAFA，EF平面AEF，AEPB，AFPBEFPB，故正确若AFBCAF平面PBC，则AFAE，与已知矛盾，故错误由可知正确三、解答题11(2018郑州模拟)如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明：BE平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：四边形ABCD为矩形且ADDEECBC2，AEB90，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面D1AE.(2)，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL，FLEC，又ECAB，FLAB，且FLAB，M，F，L，A四点共面，若MF平面AD1E，则MFAL.四边形AMFL为平行四边形，AMFLAB，.12(2018南京模拟)如图，在四棱锥EABCD中，EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足ABCD，ADDCAB，且AEBD.(1)证明：平面EBD平面EAD；(2)若EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离解(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则DMBC，DMAB，即点D在以线段AB为直径的圆上，BDAD，又AEBD，且AEADA，BD平面EAD.BD平面EBD，平面EBD平面EAD.(2)BD平面EAD，且BD平面ABCD，平面ABCD平面EAD.等边EAD的面积为，ADAEED2，取AD的中点O，连接EO，则EOAD，EO，平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，EO平面ABCD.由(1)知ABD，EBD都是直角三角形，BD2，SEBDEDBD2，SBCDBCCDsin120.设点C到平面EBD的距离为h，由VCEBDVEBCD，得SEBDhSBCDEO，解得h.13如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C侧面ABB1A1，ACAA1AB，AA1C160，ABAA1，H为CC1的中点，D为BB1的中点(1)求证：A1D平面AB1H；(2)若AB，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解(1)证明：连接AC1，ACC1为正三角形，H为棱CC1的中点，AHCC1，从而AHAA1，又平面AA1C1C平面ABB1A1，平面AA1C1C平面ABB1A1AA1，AH平面AA1C1C，AH平面ABB1A1，又A1D平面ABB1A1，AHA1D.设ABa，ACAA1AB，ACAA12a，DB1a，又DB1A1B1A1A90，A1DB1AB1A1，B1AA1B1A1D，又B1A1DAA1D90，B1AA1AA1D90，A1DAB1，由及AB1AHA，可得A1D平面AB1H.(2)取AA1的中点M，连接C1M，则C1MAH，C1M平面ABB1A1，VC1AB1A1SAB1A1C1M，三棱柱ABCA1B1C1的体积为3VC1AB1A1.14(2018衡水模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，AD的中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求三棱锥PABM的体积解(1)证明：M，N分别为PD，AD的中点，MNPA，又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB.在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60.又BAC60，CNAB.CN平面PAB，AB平面PAB，CN平面PAB.又CNMNN，平面CMN平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN平面PAB，点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离AB1，ABC90，BAC60，BC，三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12.8