第六类函数与导数问题重在 分 分离 分解 以函数为载体 以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题 多涉及含参数的函数的单调性 极值或最值的探索与讨论 复杂函数的零点的讨论 不等式中参数范围的讨论 恒成立和能成立问题的讨论等 是近几年高考试题的命题热点 对于此类综合试题 一般先求导 再变形或分解出基本函数 再根据题意处理 例6 2017 全国 卷 已知函数f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 1 解f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x 分离 f x 0等价于g x 0 因为g 1 0 g x 0 故g 1 0 当01时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 2 证明由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 设h x 2x 2 lnx 分解 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 因为x x0是f x 在 0 1 的最大值点 由e 1 0 1 f e 1 0得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 探究提高1 1 分离 把函数f x 分离为x与g x 的积 2 分解 构造h x 2x 2 lnx 2 破解策略 函数与导数压轴题计算复杂 综合性强 难度大 可以把参变量分离 把复杂函数分离为基本函数 可把题目分解成几个小题 也可把解题步骤分解为几个小步 注重分步解答 这样 即使解答不完整 也要做到尽可能多拿步骤分 训练6 2018 石家庄调研 已知函数f x 2x b ex F x bx lnx b R 1 若bb对任意x 0 恒成立 求实数b的取值范围 解 1 f x ex 2x b 2 b 0 F x 0 即F x 在 0 上单调递减 f x 和F x 在区间M上具有相同的单调性 2 由F x 1 b得ln x 1 bx 0 g x 在 0 上递减 g x g 0 0 因此实数b的取值范围是 1