限时集训（五）导数的热点问题基础过关1.已知函数f(x)=(x+b)(ex-a)(b0)的图像在点(-1,f(-1)处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.(1)求a,b的值;(2)若m0,证明:f(x)mx2+x.2.已知函数f(x)=x2-(2-m)x+m(1-m)ln x(mR).(1)若m=2,求f(x)的极值.(2)是否存在实数m,使得函数f(x)在区间(1,+)上是单调函数?若存在,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.3.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x+m(mR).(1)若f(x)g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(2)若x1,x2是函数F(x)=f(x)-g(x)的两个零点,且x1x2,求证:x1x21.4.已知函数f(x)=a(x2-x)-ln x(aR).(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)若f(x)0在1,+)上恒成立,求a的取值范围.能力提升5.已知函数f(x)=ln x-x-m(mR).(1)若函数f(x)有两个零点,求m的取值范围;(2)证明:当m-3时,关于x的不等式f(x)+(x-2)ex0恒成立,求实数m的最大整数值.限时集训(五) 基础过关1.解:(1)由题意知f(-1)=(-1+b)=0,又f(x)=(x+b+1)ex-a,所以f(-1)=-a=-1+.若a=,则b=2-e0矛盾,故a=1,b=1.(2)证明:由(1)可知f(x)=(x+1)(ex-1),所以f(0)=0,f(-1)=0.由m0,可得xmx2+x.令g(x)=(x+1)(ex-1)-x,则g(x)=(x+2)ex-2,令t(x)=g(x),则t(x)=(x+3)ex.当x-3时,t(x)0,g(x)单调递减,且g(x)-3时,t(x)0,g(x)单调递增,且g(0)=0.所以g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,且g(0)=0,故g(x)g(0)=0,即(x+1)(ex-1)xmx2+x,又等号可同时成立,所以f(x)mx2+x.2.解:(1)当m=2时,f(x)=x2-2ln x(x0),则f(x)=2x-=(x0).令f(x)=0,得x=1.列表如下:x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)极小值由上表可得,f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.(2)f(x)=2x-(2-m)+=(x0).当m=时,f(x)0,f(x)在区间(1,+)上是增函数,满足题意;当1-m,即m时,若f(x)在区间(1,+)上是单调函数,则有1,故m2;当1-m,即m时,若f(x)在区间(1,+)上是单调函数,则有1-m1,故0m0),则有F(x)=-1=,当x1时,F(x)0,当0x0,所以F(x)在(1,+)上单调递减,在(0,1)上单调递增,故F(x)在x=1处取得最大值,最大值为-1-m.若f(x)g(x)恒成立,则-1-m0,即m-1.(2)证明:由(1)可知,若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,则m-1,0x11x2.要证x1x21,只需证x2F.由F(x1)=F(x2)=0,得m=ln x1-x1,即证ln-m=ln-+x1-ln x10.令h(x)=-+x-2ln x(0x0,故h(x)在(0,1)上单调递增,则h(x)h(1)=0,所以x1x20),f(x)在x=1处取得极值,f(1)=0,即a-1=0,a=1.经检验,当a=1时,f(x)在x=1处取得极小值.(2)f(x)=,令g(x)=2ax2-ax-1(x1).当a=0时,f(x)=0时,二次函数g(x)的图像开口向上,对称轴为直线x=,过点(0,-1).(i)当g(1)0,即a1时,g(x)0在1,+)上恒成立,f(x)0,从而f(x)在1,+)上单调递增.又f(1)=0,当x1时,f(x)0,满足f(x)0在1,+)上恒成立.(ii)当g(1)0,即0a1,使得当x(1,x0)时,g(x)0,f(x)单调递增,f(x0)f(1).又f(1)=0,f(x0)0,故不满足题意.当a0时,二次函数g(x)的图像开口向下,对称轴为直线x=,g(x)在1,+)上单调递减,又g(1)=a-10,g(x)0,解得0x1,令g(x)1,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,故g(x)max=g(1)=-1.要使函数f(x)有两个零点,则函数g(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点,则m-1,即实数m的取值范围为(-,-1).(2)证明:f(x)+(x-2)ex(x-2)ex+ln x-x.设h(x)=(x-2)ex+ln x-x,x,则h(x)=(x-1).设u(x)=ex-,则u(x)=ex+0,则u(x)在上单调递增,又u=-20,存在x0,使得u(x0)=0,即=,ln x0=-x0.当x时,u(x)0;当x(x0,1时,u(x)0,h(x)0.函数h(x)在上单调递增,在(x0,1上单调递减,h(x)max=h(x0)=(x0-2)+ln x0-x0=(x0-2)-2x0=1-2x0.设(x)=1-2x,则(x)=-2=,当x时,(x)0恒成立,则(x)在上单调递增,(x)(1)=-3,即当x时,h(x)-3,当m-3时,关于x的不等式f(x)+(x-2)ex0,得x1,f(x)在(1,+)上为增函数;令f(x)0,得0x0对于任意x(0,+)恒成立,f(x)-m-1对于任意x(0,+)恒成立.f(x)=exx-(m-1),分类讨论:当m1时,f(x)在(0,+)上为增函数,f(x)-m,又-m-m-1恒成立,m1.当m1时,f(x)在(0,m-1)上为减函数,在(m-1,+)上为增函数,f(x)min=f(m-1)=-em-1,-em-1-m-1,em-1-m-11),则g(m)=em-1-10(m1),g(m)在(1,+)上单调递增,又g(2)=e-30,在(1,+)上存在唯一的m0使得g(m0)=0,且2m03,故实数m的最大整数值为2.6