7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验对方向1.(2017全国10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为不妨令0,2.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得|AF|cos+|GF|=|AK1|,|AK1|=|AF|,|GF|=2,所以|AF|cos +2=|AF|,即|AF|=21-cos.同理可得|BF|=21+cos,所以|AB|=41-cos2=4sin2.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为2+,则|DE|=4sin22+=4cos2,所以|AB|+|DE|=4sin2+4cos2=4sin2cos2=414sin22=16sin2216,当=4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.2.(2016全国5)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A解析(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.4.(2016北京13)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析四边形OABC是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.ba=1,即a=b.又|OB|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.新题演练提能刷高分1.(2018山东济南一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.x236+y232=1B.x29+y28=1C.x29+y25=1D.x216+y212=1答案B解析椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,2a=6,a=3,6c=6,c=1,b2=a2-1=8,椭圆方程为x29+y28=1,故选B.2.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.3.(2018吉林长春第二次质量监测)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.4.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则该双曲线的方程为()A.x2-y24=1B.x2-y2=1C.x2-y23=1D.x2-y22=1答案B解析由点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示.在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=3a,即M(2a,3a),代入双曲线方程得4-3a2b2=1,即b2=a2.点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,a=b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.5.(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.234C.161534D.181734答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|32-50+30|32+(-5)2=181734,故选D.6.(2018安徽合肥第一次质检)如图,椭圆x2a2+y24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A.20B.10C.25D.45答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2x轴,所以Nc,4a,则H0,2a.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2a,代入椭圆方程得4c2a2+1a2=1,a2=1+4c2,1+4c2=4+c2,c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,F2MN的周长为4a=45.7.(2018江西六校联考)双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案9解析由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2b2a+4a=212+8=9(即当ABx轴时取等号).命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验对方向1.(2018全国5)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A解析e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.2.(2018全国11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.3.(2017全国5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B解析由题意得ba=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-y25=1.4.(2017天津5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=bax.点P的坐标为(0,4),直线PF的斜率为k=4c.由题意得4c=ba.双曲线的离心率为2,ca=2.在双曲线中,a2+b2=c2,联立解得a=b=22,c=4.所求双曲线的方程为x28-y28=1.故选B.5.(2018全国16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案2解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4xy2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.6.(2016天津6)已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1C.x24-y24=1D.x24-y212=1答案D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有x2+y2=4y=b2xx=4b2+4,y=4b2+4b2,则xy=16b2+4b2=b2b2=12.故所求双曲线的方程为x24-y212=1,故选D.7.(2017全国16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.答案6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).